| Manfred Börgens Mathematische Probleme # 131 |
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Wieviel Besuch erhält man im "Problem der nächsten Nachbarn" höchstens?
Die Lösung steht im unteren Teil der Seite.
| Das Problem der nächsten Nachbarn wurde in Problem # 114 und Blog # 15 behandelt. Dort ging es um n Häuser mit paarweise verschiedenen Abständen. Die Bewohner eines jeden Hauses besuchen das nächstgelegene Haus. Es wurde die Frage gestellt (und weitgehend beantwortet), wie groß die Anzahl m der besuchten Häuser sein kann (Minimum und Maximum).
Hier kommt jetzt eine einfachere Folgefrage. Schaut man sich die Graphiken in Problem # 114 an, so erkennt man, dass ein Haus von beliebig wenigen anderen Häusern Besuch bekommen kann (auch 0 ist möglich), dass aber offenbar diese Anzahl nach oben beschränkt ist. Aus den Graphiken gewinnt man möglicherweise schon die richtige Vermutung über die maximale Anzahl; diese ist dann zu beweisen. |
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Jedes Haus kann aus höchstens 5 anderen Häusern besucht werden.
Wir geben dafür zwei Beweise an; der erste ist "ohne Worte", der zweite wird mit Hilfe der Elemente des Euklid geführt.
Um ein Gefühl für die Problemstellung zu bekommen, sollte man Punkte (für die Häuser) in eine Ebene zeichnen und zählen, wieviele Punkte einen bestimmten Punkt A als nächsten Nachbarn haben, die entsprechende Anzahl nennen wir g . Wie schon in den Bildern von Problem # 114 gezeigt, geht das leicht für g = 5 . Versucht man es mit g = 6 , landet man schnell bei der Konstellation wie in Bild 1:
Bild 1 Der grüne Punkt ist A.
Aber in Bild 1 sind alle Abstände gleich groß, und das ist laut Aufgabenstellung nicht erlaubt. Jeder Versuch, dies durch minimale Verschiebungen der Punkte zu "heilen", schlägt fehl. Das führt zu der Überlegung, dass zwei Punkte B und C , die A als nächsten Nachbarn haben, mehr als 60° Winkelabstand (mit A als Scheitel) haben müssen. Wenn wir das beweisen können, ist das Problem gelöst.
Es wird gezeigt: Zwei Punkte B und C mit A als jeweils nächstem Nachbarn haben mehr als 60° Winkelabstand (mit A als Winkelscheitel). Daraus folgt: Die maximale Anzahl g der Punkte, die A als nächsten Nachbarn haben, ist g = 5 .
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Vorspann: Beweise ohne Worte Was ist ein Beweis? Muss er logische Ketten von Aussagen, einen erläuternden Text oder Formeln enthalten? Das ist zwar üblich, aber hin und wieder vertraut man der bloßen Anschauung einer Graphik, um sich von einer mathematischen Aussage zu überzeugen. Möglicherweise wird das nicht von jedem akzeptiert. Aber es gibt gute Gründe für "Beweise ohne Worte", also rein graphische Beweise ohne Erklärungen und ohne Formeln; sie sind
Bild 2 zeigt einen Beweis des Satzes des Pythagoras. Er wurde von dem amerikanischen Mathematiker Rufus Isaacs (1914-1981) im Beitrag Two Mathematical Papers Without Words in der Zeitschrift Mathematics Magazine 9/1975 publiziert. Weitere Pythagoras-Beweise findet man bei Briefmarke # 57, Briefmarke # 68 und Briefmarke # 130. Bild 3 zeigt einen Beweis für "n2 = Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen". |
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Exkurs in die Elemente des Euklid Die Elemente des Euklid wurden in Briefmarke # 50 und Briefmarke # 108 vorgestellt. Hier wollen wir Proposition 19 aus dem 1. Buch der Elemente verwenden (frei übersetzt): Ist in einem Dreieck ein Winkel größer als ein anderer, so liegt ersterem eine längere Seite gegenüber als dem zweiten. Einen Beweis, zusammen mit dem griechischen Urtext, findet man z.B. in Euclid's Elements of Geometry von R. Fitzpatrick. |
Publiziert 2025-05-04 Stand 2023-04-09
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