Manfred Börgens
Mathematik auf Briefmarken  # 108
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Kreiswinkelsatz auf Tafel

Guinea-Bissau 1979   Michel 529A   Scott 412


Kreiswinkelsatz und Peripheriewinkelsatz

Mathematik an der Tafel: Ein schönes und eher seltenes Motiv auf Briefmarken. Der Lehrer erläutert klassische Sätze der ebenen Geometrie aus Euklids Elementen, den Kreiswinkelsatz und den Peripheriewinkelsatz.

Am oberen Rand der Briefmarke steht (auf portugiesisch) Internationales Jahr des Kindes 1979.

Kreiswinkelsatz   Euklid Elemente Buch 3, Proposition 20
Über einem Kreisbogen wird ein Dreieck errichtet, mit der zum Bogen gehörigen Sehne als Basis und dem Kreismittelpunkt (auf der Marke  O ) als gegenüberliegender Ecke. Ein weiteres Dreieck mit gleicher Basis habe seine gegenüberliegende Ecke (auf der Marke  A ) auf der Peripherie des Kreises und von der Sehne aus auf der gleichen Seite wie  O . Dann ist der Dreieckswinkel bei  O  doppelt so groß wie der Winkel bei  A  ("Mittelpunktswinkel = 2·Peripheriewinkel").

Peripheriewinkelsatz   Euklid Elemente Buch 3, Proposition 21
Mit den Bezeichnungen des Kreiswinkelsatzes gilt: Die Peripheriewinkel aller Dreiecke, die dieselbe Sehne als Basis haben und auf derselben Seite der Sehne liegen, sind gleich.
Das bedeutet, dass die Lage des Punktes  A  in den beiden Sätzen beliebig gewählt werden kann.


Der Beweis wird oft auf dem Umweg über den Spezialfall geführt, dass bei den beiden Dreiecken im Kreiswinkelsatz einer der beiden Basiswinkel gleich ist (Quelle). Das ist verwunderlich, da Euklid in seinen Elementen schon vor über 2300 Jahren einen einfacheren und eleganten Beweis angegeben hat. Dieser Beweis wurde schon vor Euklid gefunden, vermutlich vor ca. 2500 Jahren von den Pythagoreern.

Euklids Beweis beider Sätze wird in Bild 1 illustriert. Dort sind die Bezeichnungen anders als auf der Briefmarke. Die der Sehne gegenüberliegenden Ecken sind hier der Kreismittelpunkt  M  und der Peripheriepunkt  C ,  durch die eine Gerade gezogen wird. Dann sind  AMC  und  BCM  gleichschenklige Dreiecke.

δ1 + φ1 = 180°   und   δ1 + 2 γ1 = 180°   ⇒   φ1 = 2 γ1

Analog zeigt man  φ2 = 2 γ2 ,  also gilt auch  φ = 2 γ .  Da diese Herleitung nicht von der Lage von  C  abhängt, sind beide Sätze bewiesen.

Kreiswinkelsatz
Bild 1    Copyright



Mathematik an der Tafel:
   American Mathematical Society
   Luca Pacioli
   Euklid   siehe dort Bildausschnitt in der Mitte der Seite neben dem grünen Pfeil


Publiziert 2019-08-26          Stand 2017-03-03


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