Wieviele Kugeln enthält die Urne ?


Eine Urne enthalte \(~n~\) weiße und \(~n~\) schwarze Kugeln. Es werden  –  in Unkenntnis von \(~n\)  –  zufällig \(~m~\) Kugeln gezogen, von denen sich \(~n_1~\) als weiß und \(~n_2~\) als schwarz herausstellen. Welche Rückschlüsse lassen sich daraus für \(~n~\) ziehen?

Das soll präzisiert werden: \(~m=n_1+n_2 \gt 0~\) und \(~n_i~\) mit \(~n_i \ge 0~\) werden als bekannt vorausgesetzt. Es soll die Wahrscheinlichkeit \(~p_n~\) analysiert werden, mit der bei Ziehung von \(~m~\) Kugeln aus \(~2_~n~\) Kugeln (davon gleich viele weiß und schwarz) \(~n_1~\) weiß und \(~n_2~\) schwarz sind.

Haben die \(~p_n~\) einen Grenzwert für \(~n \rightarrow \infty~\)?

Insbesondere interessiert uns die Frage, ob es ein \(~n~\) gibt, für das \(~p_n~\) maximal wird (engl. "best guess for \(~n~\)"). Falls ja, ist dieses \(~n~\) eindeutig?

Für genügend große \(~n_i~\) ist die Lage des Maximums der \(~p_n~\) einfach zu bestimmen: Sein Abstand zum minimal möglichen \(~n~\) ist dann konstant.


Lösung

Publiziert 2025-02-09          Stand 2022-07-05

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