Stammbrüche mit endlicher \(b\)-adischer Darstellung


1.
Wir werden rationale Zahlen als Bruch schreiben (der Einfachheit halber mit Zähler und Nenner im Dezimalsystem) sowie mit Nachkommastellen in \(b\)-adischer Darstellung. Die Basis  \(b\)  soll eine beliebige natürliche Zahl \(~\ge~2~\) sein.
Nun sollen zunächst die Leserinnen und Leser mit einer (einfachen) Recherche herausfinden, welche Brüche eine endliche \(~b\)-adische Darstellung aufweisen, also eine Darstellung mit nur endlich vielen Nachkommastellen \(~\neq~0~\).

2.
Aus 1. ziehen wir eine Folgerung: Für welche (verschiedenen)  \(b\)  ergeben sich die gleichen Mengen von Brüchen mit endlicher \(b\)-adischer Darstellung? Man vergleiche etwa unser Dezimal- mit dem Vigesimalsystem der Maya (→ Briefmarke # 39), oder das Dual- mit dem Hexadezimalsystem.

3.
Ab hier werden nur noch Stammbrüche betrachtet. Wir kommen zur zentralen Aufgabe dieser Problemseite: Es ist nachzuweisen, dass  die Summe der Stammbrüche mit endlicher \(b\)-adischer Darstellung endlich ist. Wie groß ist diese Summe?
—   Damit ist gezeigt, dass diese Brüche nur "dünn gesät" sind.
—   Ein Tipp kann abgerufen werden, indem der Rest dieser Zeile markiert wird: Im Dezimalsystem ergibt sich diese Summe als Produkt zweier geometrischer Reihen.

4.
Die Summe aus 3. ist natürlich nach unten durch  \(1\)  beschränkt. Ist diese Summe über alle  \(b\)  nach oben beschränkt?


Die Lösung erscheint Mitte Dezember.



Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π

Publiziert 2024-11-13          Stand 2022-12-30

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