in Problem 127 haben wir das Volumen eines Quaders unter einem Zeltdach maximiert. Am Schluss der Lösung wurde eine besonders einfache Variante vorgestellt, die aufgrund der Symmetrie des Zeltdachs bzgl. der Koordinaten \(~x~\) und \(~y~\) nur Quader berücksichtigt, deren Basis quadratisch ist. Damit reduziert man das Problem auf eine Optimierungsaufgabe in einer Variablen – mit dem gleichen Endergebnis.
Offen gelassen wurde die Frage, ob diese Variante nur zufällig zum richtigen Ergebnis führt oder ob man das immer so machen kann, wenn die Variablen \(~x~\) und \(~y~\) vertauschbar sind.
Natürlich ist dieses Verfahren nicht legitim! Die Berechnungen am Ende der Lösung und Bild 3 in Problem 127 zeigen, dass das Volumen genau ein relatives und absolutes Maximum hat, das dann zwangsläufig über der Geraden \(~x=y~\) liegt. Es fällt aber nicht schwer sich vorzustellen, dass man zwei oder mehr davon findet, die dann jeweils symmetrisch zu dieser Geraden liegen müssen.
Das im Folgenden vorgestellte Problem gibt dafür ein Beispiel. Wir werden ein in \(~x,~y~\) symmetrisches Zeltdach definieren und einen Quader wie in Problem 127 einbeschreiben. Aber diesmal hat der Quader mit maximalem Volumen keine quadratische Basis.
Die Leser dieser Seite können verschiedene (symmetrische) Zeltdächer ausprobieren; ich vermute, sie finden (zunächst) entweder kein absolutes Maximum oder genau eines mit quadratischer Quaderbasis. Man muss schon ein wenig suchen, um festzustellen, dass das eben im Allgemeinen nicht so ist. Unser Beispiel auf dieser Seite sieht schwieriger aus, denn die Funktion für das Zeltdach ist deutlich komplizierter als in Problem 127. Aber die Methode zur Extremwertbestimmung einer Funktion mit zwei unabhängigen Variablen ist natürlich genau die gleiche – und ohne Hilfe durch mathematische Software geht es schon in Problem 127 nicht und hier erst recht nicht.
Damit ist der Sinn des hier vorgestellten Problems umrissen. Es wird eine Optimierungsaufgabe für zwei unabhängige Variablen präsentiert, die sehr schön zeigt, wie man sich mathematischer Software zur Diskussion komplizierter Funktionen bedienen kann.
Wir betrachten ein Zeltdach über dem ersten Quadranten der cartesischen Ebene. Es wird definiert durch \[z = \frac{1+x^2+y^2}{\left(1+(x+2)^2(y+2)^2\right)^2}\] Bild 1 zeigt die Gestalt des Dachs: Der Aufhängepunkt über \((0,0)\) sitzt auf der Höhe \(z = 1/289\approx~0,00346~\). In \(~x\)- und in \(~y\)-Richtung fällt das Dach ab; es hat eine ähnliche Gestalt wie das Zeltdach in Problem 127.
Bild 1
Unter dem Zeltdach soll wieder ein Gebäude errichtet werden. Es hat die Form eines achsenparallelen Quaders mit den Seitenlängen \(~x_1,~y_1,~z_1~\) und soll das größtmögliche Volumen haben. Eine seiner Ecken liegt in \((0,0,0)\), diagonal gegenüber stößt der Quader im Punkt \((x_1,~y_1,~z_1)\) an das Zeltdach an. Wie sind \(~x_1,~y_1,~z_1~\) zu wählen ?
Die Lösung erscheint Anfang Oktober.