Über dem ersten Quadranten der cartesischen Ebene ist ein Zeltdach aufgespannt. Der Aufhängepunkt über \((0,0)\) sitzt auf der Höhe \(~z=1~\). In \(~x\)- und in \(~y\)-Richtung fällt das Dach ab. Bild 1 zeigt die Gestalt des Dachs:
Bild 1 \[z = \frac{1}{1+(x+0,6\cdot y)^3}\]
Hier kommt eine Aufgabe für Problemlöser, die sich gerne mit Werkzeugen aus der mathematischen Softwarekiste helfen lassen. Denn von Hand wird's ein wenig aufwändig:
Unter dem Zeltdach mit der Funktion \(~z = \left(1+(x+a\cdot y)^3\right)^{-1}~\) für \(~x,~y\ge 0~\) und einem festen \(~a\gt 0~\) soll ein Gebäude errichtet werden. Es hat die Form eines achsenparallelen Quaders mit den Seitenlängen \(~x_1,~y_1,~z_1~\) und soll das größtmögliche Volumen haben. Eine seiner Ecken liegt in \((0,0,0)\), diagonal gegenüber stößt der Quader im Punkt \((x_1,~y_1,~z_1)\) an das Zeltdach an, siehe Bild 2. Wie sind \(~x_1,~y_1,~z_1~\) zu wählen ?
Bild 2 \(a=0,6\)
Lösung