Sphärische Triangulation

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In den ersten drei Teilen der "Sphärischen Triangulation" wurden Kugel-Deltaeder vorgestellt, also konvexe Polyeder, deren sämtliche Flächen Dreiecke sind und deren Ecken alle auf der Umkugel liegen. Diese ermöglichen eine Triangulation der Kugel, da die Kanten der Polyeder durch die entsprechenden Geodätischen auf der Kugel ersetzt werden können.

In diesem vierten Teil sollen nur spezielle Kugel-Deltaeder behandelt werden, die wir Kuppel-Deltaeder nennen wollen, da sie beim Bau Geodätischer Kuppeln bevorzugt verwendet werden. Ein Kuppel-Deltaeder ist ein Kugel-Deltaeder, an dessen sämtlichen Ecken  5  oder  6  Kanten (bzw. Dreiecke) zusammentreffen.

Was wissen wir aus den ersten drei Teilen der "Sphärischen Triangulation" über konvexe Polyeder, die nur von Dreiecken begrenzt werden?  F  soll die Anzahl der Flächen bezeichnen,  E  die Anzahl der Ecken und  K  die Anzahl der Kanten.

•  Deltaedersatz:  K = F·(3/2)  und  E = F/2 + 2 .  F  ist gerade.


•  Für alle geraden  F ≥ 4  gibt es ein Kugel-Deltaeder.


•  Die einzigen regulären Kugel-Deltaeder sind die Platonischen Körper Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder.


•  Bezeichnet in einem Kuppel-Deltaeder  E₅  die Anzahl der Ecken mit  5  Kanten und  E₆  die Anzahl der Ecken mit  6  Kanten, so gilt  E₅ = 12  und  E₆ = F/2 - 10 .


•  Drei Kuppel-Deltaeder wurden beschrieben: Ikosaeder (E₆ = 0), Penta-Dodekaeder (E₆ = 20) und Tetra-Ikosaeder (E₆ = 30).

•  Man sucht zunächst möglichst einfache Grundformen von Kuppel-Deltaedern. Davon kennen wir bereits zwei  -  Ikosaeder und Penta-Dodekaeder  - , aber es gibt noch mehr dieser "Kuppel-Deltaeder 1. Ordnung".


•  Aufbauend auf diesen kann man leicht (unendlich viele) weitere Kuppel-Deltaeder bilden, indem man die Flächen (Dreiecke) in kleinere Dreiecke unterteilt; so erhält man "Kuppel-Deltaeder 2. Ordnung". Dabei ist darauf zu achten, dass an den neu entstehenden Ecken wieder  5  oder  6  Kanten zusammentreffen. Als Vorbild dafür dient das Tetra-Ikosaeder. Dort wurde jede Fläche in  4  Dreiecke unterteilt. Wenn man die Kanten statt in  2  in  j  Stücke teilt, erhält man  j²  Teildreiecke. Das lässt sich bei allen Kuppel-Deltaedern 1. Ordnung für  j ≥ 2  durchführen.


•  Zurück zum ersten Punkt: Da man für die Kuppel-Deltaeder 1. Ordnung eine Umkugel benötigt, nimmt man sich am besten zuerst die Archimedischen Körper vor. Unter diesen kommen zwar keine Kuppel-Deltaeder vor (sonst wären es ja Platonische Körper), aber die Konstruktion des Penta-Dodekaeders in Teil 2 zeigt auf, wie man auch aus Archimedischen Körpern Kuppel-Deltaeder herstellen kann.


•  Dann kann man noch nach weiteren Polyedern (oder ganzen Polyeder-Klassen) forschen, die für die Konstruktion von Kuppel-Deltaedern in Frage kommen.

Publiziert 2016-05-17          Stand 2014-11-14

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