Nikolaus von Kues (lat. Nicolaus Cusanus) (1401 - 1464) wird auf der gleichzeitig erscheinenden Seite mit der Briefmarke # 94 vorgestellt. Er hat sich das Spiel Ludus Globi (Spiel der (Welt-)Kugel) ausgedacht, das in erster Linie ein Geschicklichkeitsspiel ist, aber auch meditativ-religiösen Charakter hat. Dabei wird ähnlich wie beim französischen Boule eine Kugel so geworfen, dass sie möglichst nahe an einen Zielpunkt rollt. Dieser Zielpunkt liegt beim Ludus Globi in einem großen runden Spielfeld, ähnlich einer Zielscheibe. Ein wesentlicher Unterschied zum Boule-Spiel ist, dass die Spielkugel (meist aus Holz) eine große Delle hat, die eine geradlinige Bahn beim Rollen weitgehend verhindert.
Seit einigen Jahren kann man das Spiel wieder kaufen. Man findet es unter dem Namen Globoule. Thomas Jahre hat auf der Website des Chemnitzer Schulmodells eine "Aufgabe der Woche" gestellt (Aufgabe # 411), in der auch die Spielkugel als Globoule bezeichnet wird. Das ist ein ausgezeichneter Name für die eingedellte Kugel, der auch hier im Folgenden verwendet werden soll.
Wir definieren die Globoule als eine Kugel K1 , der die Schnittmenge mit einer anderen Kugel K2 fehlt. Die Schnittmenge besteht aus einem Kugelabschnitt A1 von K1 mit Höhe h1 und einem Kugelabschnitt A2 von K2 mit Höhe h2 ; die beiden Abschnitte haben dieselbe kreisförmige Grundfläche mit Radius a (siehe Bild 1). Außerdem wird gefordert:
(1) A1 ist kleiner als die Hälfte von K1 .
(2) A2 ist maximal eine Halbkugel.
Bild 1
Also bleibt von der Oberfläche von K1 mehr als die Hälfte stehen, und die "Eindellung" im Restkörper ist maximal halbkugelförmig (oder "flacher").
In der Skizze wurde der Radius von K1 zu r1 = 3 gewählt und der Radius von K2 zu r2 = 3.5 . Die Kugelmittelpunkte haben einen Abstand von 4 Einheiten, so dass die Radien sich zu h = h1 + h2 = 2.5 überlappen. Der Einfachheit halber wurden die Mittelpunkte im Querschnitt auf (0,0) und (4,0) gelegt.
Im nächsten Bild sieht man eine Globoule, wie sie im Handel erhältlich ist. Sie hat nicht die gleichen Maße wie in Bild 1 (auch die Globoule aus Thomas Jahres Aufgabe der Woche 411 hat andere Maße, wie wir noch sehen werden).
Globoule
Bei den nun folgenden Aufgaben stelle man sich vor, dass die Radien bekannt sind und die Überlappung der Kugeln durch die Länge h entlang der Gerade durch die Mittelpunkte der Kugeln festgelegt wird.
Aufgabe 1
Berechnen Sie h1, h2, a aus r1, r2, h .
r1 und r2 seien vorgegeben. Welche Werte kann h annehmen?
Aufgabe 2
r1, r2 und h seien vorgegeben. Berechnen Sie das Volumen und den Schwerpunkt der Globoule.
Das muss man nicht von Hand machen. Die Verwendung eines CAS ist hier angebracht.
Aufgabe 3
Nun zum Problem, das Thomas Jahre gestellt hat. Bei seiner Globoule ist die Eindellung A2 eine Halbkugel, die genau bis zum Mittelpunkt von K1 reicht.
Thomas Jahre macht das Problem dadurch attraktiv, dass er einen einfachen Spezialfall der Aufgaben 1 und 2 präsentiert, bei dem alle Maße der beiden Kugeln nur von r1 abhängen.
Berechnen Sie alle Maßzahlen dieser Globoule in Abhängigkeit von r1 , auch das Volumen V und den Schwerpunkt xs .
Aufgabe 4
Wenn man eine Globoule mit unbekannten Maßen vorgelegt bekommt, so kann man relativ einfach den Durchmesser 2r1 , sowie h1 als Differenz von 2r1 und der Höhe der Globoule messen. Etwas schwieriger ist die Messung von h2 als Tiefe der Delle. Bei meiner Globoule (siehe Foto oben) ist r1 = 3 cm, h1 = 1.2 cm und h2 = 1.35 cm .
Bestimmen Sie aus r1, h1 und h2 den Radius r2 . Was ergibt sich für die Globoule auf dem Foto? Berechnen Sie auch V und xs .
Lösung