Die Globoule des Nikolaus von Kues
Die Lösung steht im unteren Teil der Seite.
Nikolaus von Kues (lat. Nicolaus Cusanus) (1401 - 1464) wird auf der gleichzeitig erscheinenden Seite mit der Briefmarke # 94 vorgestellt. Er hat sich das Spiel Ludus Globi (Spiel der (Welt-)Kugel) ausgedacht, das in erster Linie ein Geschicklichkeitsspiel ist, aber auch meditativ-religiösen Charakter hat. Dabei wird ähnlich wie beim französischen Boule eine Kugel so geworfen, dass sie möglichst nahe an einen Zielpunkt rollt. Dieser Zielpunkt liegt beim Ludus Globi in einem großen runden Spielfeld, ähnlich einer Zielscheibe. Ein wesentlicher Unterschied zum Boule-Spiel ist, dass die Spielkugel (meist aus Holz) eine große Delle hat, die eine geradlinige Bahn beim Rollen weitgehend verhindert.
Seit einigen Jahren kann man das Spiel wieder kaufen. Man findet es unter dem Namen Globoule. Thomas Jahre hat auf der Website des Chemnitzer Schulmodells eine "Aufgabe der Woche" gestellt (Aufgabe # 411), in der auch die Spielkugel als Globoule bezeichnet wird. Das ist ein ausgezeichneter Name für die eingedellte Kugel, der auch hier im Folgenden verwendet werden soll.
Wir definieren die Globoule als eine Kugel K1 , der die Schnittmenge mit einer anderen Kugel K2 fehlt. Die Schnittmenge besteht aus einem Kugelabschnitt A1 von K1 mit Höhe h1 und einem Kugelabschnitt A2 von K2 mit Höhe h2 ; die beiden Abschnitte haben dieselbe kreisförmige Grundfläche mit Radius a (siehe Bild 1). Außerdem wird gefordert:
(1) A1 ist kleiner als die Hälfte von K1 .
(2) A2 ist maximal eine Halbkugel.
Bild 1
Also bleibt von der Oberfläche von K1 mehr als die Hälfte stehen, und die "Eindellung" im Restkörper ist maximal halbkugelförmig (oder "flacher").
In der Skizze wurde der Radius von K1 zu r1 = 3 gewählt und der Radius von K2 zu r2 = 3.5 . Die Kugelmittelpunkte haben einen Abstand von 4 Einheiten, so dass die Radien sich zu h = h1 + h2 = 2.5 überlappen. Der Einfachheit halber wurden die Mittelpunkte im Querschnitt auf (0,0) und (4,0) gelegt.
Im nächsten Bild sieht man eine Globoule, wie sie im Handel erhältlich ist. Sie hat nicht die gleichen Maße wie in Bild 1 (auch die Globoule aus Thomas Jahres Aufgabe der Woche 411 hat andere Maße, wie wir noch sehen werden).
Globoule
Bei den nun folgenden Aufgaben stelle man sich vor, dass die Radien bekannt sind und die Überlappung der Kugeln durch die Länge h entlang der Gerade durch die Mittelpunkte der Kugeln festgelegt wird.
Aufgabe 1
Berechnen Sie h1, h2, a aus r1, r2, h .
r1 und r2 seien vorgegeben. Welche Werte kann h annehmen?
Aufgabe 2
r1, r2 und h seien vorgegeben. Berechnen Sie das Volumen und den Schwerpunkt der Globoule.
Das muss man nicht von Hand machen. Die Verwendung eines CAS ist hier angebracht.
Aufgabe 3
Nun zum Problem, das Thomas Jahre gestellt hat. Bei seiner Globoule ist die Eindellung A2 eine Halbkugel, die genau bis zum Mittelpunkt von K1 reicht.
Thomas Jahre macht das Problem dadurch attraktiv, dass er einen einfachen Spezialfall der Aufgaben 1 und 2 präsentiert, bei dem alle Maße der beiden Kugeln nur von r1 abhängen.
Berechnen Sie alle Maßzahlen dieser Globoule in Abhängigkeit von r1 , auch das Volumen V und den Schwerpunkt xs .
Aufgabe 4
Wenn man eine Globoule mit unbekannten Maßen vorgelegt bekommt, so kann man relativ einfach den Durchmesser 2r1 , sowie h1 als Differenz von 2r1 und der Höhe der Globoule messen. Etwas schwieriger ist die Messung von h2 als Tiefe der Delle. Bei meiner Globoule (siehe Foto oben) ist r1 = 3 cm, h1 = 1.2 cm und h2 = 1.35 cm .
Bestimmen Sie aus r1, h1 und h2 den Radius r2 . Was ergibt sich für die Globoule auf dem Foto? Berechnen Sie auch V und xs .
Lösung
Aufgabe 1
Berechnen Sie h1, h2, a aus r1, r2, h .
r1 und r2 seien vorgegeben. Welche Werte kann h annehmen?
Vorab die offensichtlichen Einschränkungen für h (siehe Bild 1):
(3) h < 2ri 2ri sind die Kugeldurchmesser
(4) h1 < r1 wegen (1)
(5) h2 ≤ r2 wegen (2)
h muss nun so gewählt werden, dass (4) und (5) erfüllt sind. Dazu wollen wir hi mit Hilfe von Bild 1 bestimmen:
a2 = r12 - (r1 - h1)2 mit (4)
a2 = r22 - (r2 - h2)2 = r22 - (r2 - h + h1)2 mit (5)
Wir setzen die rechten Seiten gleich und lösen nach h1 auf:
(6) h1 = h(r2 - h/2) / (r1 + r2 - h) h2 = h - h1 = h(r1 - h/2) / (r1 + r2 - h)
a = (2rihi - hi2)1/2
Damit sind h1 , h2 und a bestimmt. Nun zum erlaubten Bereich für h .
Die erste Bedingung (4) ist wegen (6) äquivalent zu den beiden Ungleichungen
h(r2 - h/2) < r1(r1 + r2 - h)
f(h) := h2 - 2(r1 + r2)h + 2 r1(r1 + r2) > 0
Die zweite Bedingung (5) ist wegen (6) äquivalent zu den beiden Ungleichungen
h(r1 - h/2) ≤ r2(r1 + r2 - h)
g(h) := h2 - 2(r1 + r2)h + 2 r2(r1 + r2) ≥ 0
Wir betrachten die Ungleichungen für f(h) und g(h) mit Fallunterscheidung:
(i) r1 = r2
⇒ f und g haben nur eine Nullstelle r1 + r2 . Wegen (4) und (5) folgt
h < r1 + r2 , was auch unmittelbar aus der Aufgabenstellung einleuchtet.
(ii) r1 > r2
⇒ f(h)> 0 ist dann immer erfüllt; wegen (4) und (5) gilt
g(h)≥ 0 für h im Bereich unterhalb der linken Nullstelle, also
h ≤ r1 + r2 -(r12 - r22)1/2
(iii) r1 < r2
⇒ g(h)≥ 0 ist dann immer erfüllt; wegen (4) und (5) gilt
f(h)> 0 für h im Bereich unterhalb der linken Nullstelle, also
h < r1 + r2 -(r22 - r12)1/2
Das Supremum der möglichen Werte für h in Abhängigkeit von r2 ist in Bild 2 dargestellt. r1 wurde o.E. zu 1 normiert.
Bild 2 sup h als Funktion von r2
Aufgabe 2
r1, r2 und h seien vorgegeben. Berechnen Sie das Volumen und den Schwerpunkt der Globoule.
Der erste Ansatz für das Volumen der Globoule verwendet die Formeln für das Volumen von Kugelabschnitten, wie man sie in vielen Formelsammlungen zur Geometrie findet (siehe Bild 1):
V = VKugel 1 - VAbschnitt 1 - VAbschnitt 2
(7) V = (π/3)·(4r13 - h12(3r1-h1) - h22(3r2-h2))
h1, h2 lassen sich nach (6) durch h ausdrücken.
Die Globoule ist aber auch ein Drehkörper, dessen Volumen mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden kann. In Bild 3 ist der Querschnitt durch diesen Drehkörper dargestellt. Die zu integrierenden Funktionen sind
y1(x) = (r12-x2)1/2 y2(x) = (r22-(x-r1-r2+h)2)1/2
Bei y2 wurde benutzt, dass K2 ihren Mittelpunkt in r1+r2-h hat.
Bild 3
V = π·∫bd y12(x)dx - π·∫cd y22(x)dx
Die Integration und die nachfolgende Vereinfachung des Ergebnisses kann man einem CAS überlassen. Mit den Abkürzungen
p = r1 + r2 - h q = 4(r12 + r1r2 + r2h) - h2
erhält man:
(8) V = (π/12)·(q/p)·(2r1 - h)2
Umformungen mit einem CAS zeigen auch, dass (7) und (8) gleich sind, wenn man h1, h2 mit (6) durch h ausdrückt.
Nun zum Schwerpunkt xs der Globoule.
xs = (π/V)·∫bd x·y12(x)dx - (π/V)·∫cd x·y22(x)dx
(9) xs = -h2(h2 + 6·r2(r1+r2) - 2h(r1+3r2))/(2·p·q)
Aufgabe 3
Bei der Globoule von Thomas Jahre ist die Eindellung A2 eine Halbkugel, die genau bis zum Mittelpunkt von K1 reicht.
Berechnen Sie alle Maßzahlen dieser Globoule in Abhängigkeit von r1 , auch das Volumen und den Schwerpunkt.
Bild 4
Wir setzen zunächst r1 = 1 . Da die Delle bis zum Mittelpunkt von K1 reicht, ist h = r1 = 1 (siehe Bild 1). Da die Delle halbkugelförmig ist, gilt in Bild 4 a = h2 = r2 = √.5 und h1 = 1 - √.5 .
Mit (8) erhält man V = π(3√2 + 8)/12 ≈ 3.205
Mit (9) erhält man xs = (3√2 - 8)/23 ≈ -0.163
Nun sei r1 beliebig. Wir fassen zusammen:
(10) Die Delle in K1 habe die Form einer Halbkugel, die bis zum Mittelpunkt reicht. Dann gilt:
r2 = r1·√.5
h = r1 h1 = r1(1-√.5) h2 = r1·√.5
a = r1·√.5
V = r13·π(3√2 + 8)/12
xs = r1(3√2 - 8)/23
Thomas Jahre hat das Problem für r1 = 3 cm gestellt. K2 hat dann den Radius r2 ≈ 2.121 . Die Globoule hat das Volumen V ≈ 86.538 cm3 und den Schwerpunkt xs ≈ -0.490 .
Aufgabe 4
Wenn man eine Globoule mit unbekannten Maßen vorgelegt bekommt, so kann man relativ einfach den Durchmesser 2r1 , sowie h1 als Differenz von 2r1 und der Höhe der Globoule messen. Etwas schwieriger ist die Messung von h2 als Tiefe der Delle. Bei meiner Globoule (siehe Foto unten) ist r1 = 3 cm, h1 = 1.2 cm und h2 = 1.35 cm .
Bestimmen Sie aus r1, h1 und h2 den Radius r2 . Was ergibt sich für die Globoule auf dem Foto? Berechnen Sie auch V und xs .
Globoule
Nach (6) ist a2 = 2r1h1 - h12 und r2 = (a2+h22)/(2h2)
(11) r2 = (2r1h1 - h12 + h22)/(2h2)
Für r1 = 3 cm, h1 = 1.2 cm und h2 = 1.35 cm erhält man mit (11), (8), (9):
r2 ≈ 2.808 cm V ≈ 87.832 cm3 xs ≈ -0.501 cm
In Bild 5 sind für diese Globoule die Mittelpunkte von K1 und K2 grün und der Schwerpunkt der Globoule schwarz markiert.
Bild 5
Publiziert 2016-03-08 Stand 2014-12-31
voriges Problem | Liste aller Probleme mit Lösungen | nächstes Problem
Manfred Börgens |
zur Leitseite