Manfred Börgens Mathematische Probleme # 63 |
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Jahr der Mathematik 2008
Die Bundesministerin für Bildung und Forschung hat das Wissenschaftsjahr 2008 zum Jahr der Mathematik ausgerufen. Diese Initiative will die Faszination der Mathematik einer größeren Öffentlichkeit vermitteln, insbesondere jungen Menschen. Diese Seite und weitere Seiten (Mathematische Probleme #61-65 , Mathematik auf Briefmarken #62-65) wenden sich im Sinne des Jahrs der Mathematik besonders an Schülerinnen und Schüler, die sich für Mathematik und ihre Geschichte interessieren. Jahr der Mathematik in Wikipedia |
Dominica 1999 Michel 2762
Fibonacci-Quadrate und Fibonacci-Rechtecke
Die Lösung steht im unteren Teil der Seite.
Fibonacci (Leonardo da Pisa, ca. 1170 - ca. 1250) gilt als einer der bedeutendsten europäischen Mathematiker des Mittelalters. Er lebte in einer Zeit, in der die arabische Mathematik erheblich fortgeschrittener als die europäische war. In der riesigen von Muslimen beherrschten Welt - von Portugal bis an die Grenzen Chinas - wurde die griechische Mathematik der Antike bewahrt und weiterentwickelt.
Fibonacci war Rechenmeister in Pisa. Besonders bekannt sind heute die nach ihm benannten Fibonacci-Zahlen. Aber seine Bedeutung lag vor allem in der Einführung des indisch-arabischen Zahlsystems in die europäische Kaufmannschaft. Fibonacci wurde als junger Mann mit der arabischen Mathematik vertraut, als er seinen Vater nach Algerien begleitete (ins heutige Bejaia); dieser vertrat dort die Pisaner Kaufmannschaft als Notar. Später bereiste Fibonacci große Teile der Mittelmeerraums - Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und Südfrankreich - und überall versuchte er, sich weitere mathematische Kenntnisse anzueignen.
Ein Hauptwerk Fibonaccis ist das Rechenbuch Liber abbaci. Es behandelt ausführlich die Arithmetik und Algebra mit den indisch-arabischen Zahlen: Bruchrechnung, Dreisatz, arithmetische und geometrische Reihen, Systeme von linearen Gleichungen, Zinsrechnung, Quadrat- und Kubikwurzeln, quadratische Gleichungen. Fibonacci gibt im Liber abbaci nicht nur Rechenanleitungen und viele Beispiele, sondern leistet auch eine theoretische Durchdringung der Materie und gibt Beweise seiner Lehrsätze an. Die langfristige Wirkung dieses Werks auf die europäische Mathematik ist nicht zu unterschätzen; allerdings wurde das neue Zahlsystem nur allmählich akzeptiert. Dies lag sicherlich auch daran, dass Fibonaccis Rechenbuch nur in handgeschriebenen Kopien kursierte - 300 Jahre später, nach der Erfindung des Buchdrucks, hatten es die Rechenmeister Luca Pacioli, Adam Riese und Simon Stevin wesentlich einfacher, ihre Rechenbücher schnell zu verbreiten.
Das aus heutiger Sicht beeindruckendste Werk Fibonaccis ist Liber quadratorum, ein Buch über Zahlentheorie. Wahrscheinlich ist Fibonacci der Erste gewesen, der die Quadratzahlen als Summe konsekutiver ungerader Zahlen erkannte. Diese und andere (damals neue) zahlentheoretische Erkenntnisse finden sich im Liber quadratorum, das jedoch lange Zeit völlig unbekannt blieb.
Weitere Bücher von Fibonacci sind der Arithmetik und der Geometrie gewidmet: Practica geometriae, Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometriam vel ad utrumque pertinentium, Di minor guisa und ein verschollener Kommentar zu Band 10 von Euklids Elementen.
Der kleine karibische Inselstaat Dominica hat für die Fibonacci-Briefmarke ein Phantasie-Porträt gewählt, da niemand genau weiß, wie Leonardo da Pisa ausgesehen hat.
Die Fibonacci-Zahlen
Nach Fibonacci ist eine der bekanntesten Zahlenfolgen benannt. Er behandelte sie nur beiläufig in Liber abbaci, im Zusammenhang mit der Vermehrung von Kaninchen. Die Fibonacci-Zahlen lauten:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Formal schreibt man für die Folge (Fn)nεN , d.h. F1 = 1 , F2 = 1 , ... F9 = 34 usw.
Die Fibonacci-Zahlen folgen einer einfachen Gesetzmäßigkeit: Jede von ihnen (ab der dritten) ist die Summe der beiden Vorgänger:
F1 = F2 = 1 , Fn+2 = Fn+1 + Fn
Die Fibonacci-Folge hat eine Vielzahl interessanter und verblüffender Eigenschaften und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. Zahlreiche Internet-Seiten sind ihr gewidmet, z.B. die sehr informative Website von Ron Knott. Mein "Problem-Kollege" Olivier Rochoir aus Frankreich hat eine schöne Aufgabe gestellt, die mit Hilfe der Fibonacci-Zahlen gelöst werden kann; die deutsche Übersetzung lautet:
Um zu meiner Wohnung zu gelangen, muss ich eine Treppe mit 40 Stufen hinaufgehen.
Manchmal überspringe ich eine Stufe. Um genau zu sein: Bei jedem Schritt habe ich
die Wahl, meinen Fuß entweder auf die nächste oder die übernächste Stufe zu setzen.
Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es für mich, meine Treppe hinaufzugehen?
Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
Auf der Briefmarke sieht man Φ , den griechischen Großbuchstaben Phi. Er steht für die Zahl des Goldenen Schnitts, Φ = ( 51/2 + 1 )/ 2 = 1,618... . Φ steht in einem engen Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen. Um diesen aufzudecken, soll zunächst eine geschlossene Formel für Fn angegeben werden. Die oben angegebene rekursive Formel für die Fibonacci-Folge ist eine lineare, homogene Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Fn+2 - Fn+1 - Fn = 0 . Das zugehörige charakteristische Polynom λ2 - λ - 1 hat die Nullstellen Φ und - φ mit φ = 1/Φ = Φ - 1 = 0,618... (φ ist der griechische Kleinbuchstabe phi). Also ist die Lösung der Differenzengleichung Fn = C1·Φn + C2·(-φ)n . C1 und C2 berechnet man mit den Anfangswerten F1 = F2 = 1 zu C1,2 = +- 5-1/2 und erhält so eine geschlossene Formel für die Fibonacci-Zahlen:
Fn = ( Φn - (-φ)n ) / 51/2
Aus dieser Formel ergibt sich die noch einfachere Definition (rd(.) steht für die Rundung auf die nächstgelegene ganze Zahl):
Fn = rd( Φn/51/2 )
Ferner ergibt sich Φ als Grenzwert von Fn+1 / Fn .
Aufgabe 1
Sowohl mit der aus der Differenzengleichung hergeleiteten Formel für Fn als auch rekursiv mit Fn+2 - Fn+1 - Fn = 0 lässt sich die Fibonacci-Folge in die andere Richtung fortsetzen; man erhält F0 = 0 , F-1 = 1 usw. Wie lässt sich F-n mit Hilfe von Fn ausdrücken? |
Aufgabe 2
Beweisen Sie Σi = 1..n Fi2 = Fn · Fn+1 (nicht geometrisch, sondern durch Rechnung). |
Aufgabe 3
Zeigen Sie die Äquivalenz von Fn+2 = Fn+1 + Fn und Σi = 1..n Fi2 = Fn · Fn+1 zur Definition der Fibonacci-Zahlen. Formulieren Sie dabei die Anfangswerte möglichst sparsam. |
Aufgabe 1
Wir rechnen die ersten Fibonacci-Zahlen mit negativen Indizes aus:
..., -21, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Sofort stellt sich die Vermutung ein: F-n = (-1)n+1 · Fn
Erster Beweis: Vollständige Induktion
Den richtigen Induktionsanfang haben wir eben schon gesehen. Ist nun die Vermutung für alle Indizes von 0 bis n richtig, so gilt:
F-(n+1) = F-(n-1) - F-n = (-1)n · Fn-1 - (-1)n+1 · Fn = (-1)n+2 ·( Fn-1 + Fn ) = (-1)n+2 · Fn+1
Zweiter Beweis: Mit Lösung der Differenzengleichung
F-n = ( Φ-n - (-φ)-n ) / 51/2 = ( φn - (-Φ)n ) / 51/2 = (-1)n+1 ·( Φn - (-φ)n ) / 51/2 = (-1)n+1 · Fn
Aufgabe 2
Beweis durch vollständige Induktion über n :
Der Induktionsanfang ( n = 1 ) ist klar, denn F12 = F1 · F2 .
Induktionsschritt n --> n + 1 : Σi = 1..n+1 Fi2 = Fn · Fn+1 + Fn+12 = Fn+1·( Fn + Fn+1 ) = Fn+1 · Fn+2
Aufgabe 3
Wir haben in Aufgabe 2 gezeigt, dass aus F1 = F2 = 1 , Fn+2 = Fn+1 + Fn folgt: Σi = 1..n Fi2 = Fn · Fn+1 .
Beginnt man umgekehrt mit Σi = 1..n Fi2 = Fn · Fn+1 , so erkennt man, dass schon die Anfangsbedingung F1 = 1 ausreicht, um sukzessive alle weiteren Folgenglieder zu berechnen, denn offenbar ergibt sich das (n+1)-te Folgenglied aus den ersten n . Dass dann auch wirklich die Fibonacci-Folge entsteht, müssen wir noch zeigen:
Fn + Fn+1 = ( Fn · Fn+1 + Fn+12 ) / Fn+1 = Σi = 1..n+1 Fi2 / Fn+1 = ( Fn+1 · Fn+2 ) / Fn+1 = Fn+2
Wir haben also bewiesen, dass die beiden folgenden Definitionen der Fibonacci-Zahlen äquivalent sind:
F1 = F2 = 1 , Fn+2 = Fn+1 + Fn
F1 = 1 , Σi = 1..n Fi2 = Fn · Fn+1
weitere Biografie: Fibonacci
Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π
Kategorie: Goldener Schnitt, Goldene Zahl, Fibonacci-Folge
Kategorie: Arabische Mathematik
Publiziert 2008-06-15 Stand 2023-01-11
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