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2020-05-14


Wieviel Schatten spendet eine Mauer ?                    Kommentare sind willkommen.


Dieses Problem wurde teilweise bereits auf der Problemseite # 54 vorgestellt. Ich habe vielen Leuten davon erzählt und sie gefragt, ob sie eine spontane Antwort geben können, und sei es nur als Vermutung. Obwohl die Problemstellung ganz einfach und fast jedem sofort verständlich ist, war ich erstaunt über die Vielfalt der Vorstellungen von einer Lösung. Tatsächlich ist die Lösung keineswegs trivial. Sie lässt sich aber auch ohne Mathematik, nur durch Nachdenken in ihren wesentlichen Zügen finden. Hier ist die Frage:

Eine lange Mauer begrenzt einen Garten nach Norden oder Süden in West-Ost-Richtung. Sie hat überall die gleiche Höhe. Wir betrachten einen Tag, an dem die Sonne scheint und die Mauer mittags ihren Schatten in den Garten wirft. Dies gilt (natürlich) auch für eine gewisse Zeit vor und nach dem Mittag.

Zu welchem Zeitpunkt an diesem Tag spendet die Mauer den meisten bzw. den wenigsten Schatten ?  Ganz allgemein: Wieviel Schatten spendet die Mauer im Garten im Laufe dieses Tages zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang ?


In diesem Beitrag soll immer von der lokalen Sonnenzeit ausgegangen werden. Für diese Zeit muss man sich vorstellen, dass man seine Uhr so eingestellt hat, dass die Sonne genau um  12 Uhr  ihren höchsten Stand erreicht. Durch diese einfache Normierung wird erreicht, dass man an allen Orten auf der Erde zum gleichen Ergebnis gelangt.

In Bild 1 steht die Sonne hinter der Mauer; die Schattenlänge bezeichnen wir mit  t  und messen sie rechtwinklig zur Mauer.

Mauerschatten
Bild 1


Die häufigste spontane Antwort, die mir gegeben wurde, klingt zunächst recht plausibel:

"Mittags ist der Schatten am kürzesten. Denn vormittags und nachmittags steht die Sonne tief und wirft einen langen Schatten; mittags dagegen steht die Sonne am höchsten und wirft deshalb einen kurzen Schatten."

Nun, wir werden sehen.

Das Problem # 54 war wesentlich enger gefasst, da dort nur der Frühlingsanfang betrachtet wurde. Aber außerdem gibt es noch zwei kleine Unterschiede in der Formulierung des Problems, die auf den ersten Blick unwesentlich erscheinen mögen:

"Immer wenn mittags die Sonne scheint, wirft die Mauer ihren Schatten in den Garten." So steht es im Problem # 54. Das "immer" fehlt hier im Blog in der Problemstellung; wir sprechen hier lediglich von irgendeinem Tag. Es wird sich herausstellen, das dies Rückschlüsse auf den Standort des Betrachters (des Schattensuchenden) erlaubt.  -
Außerdem fehlte im Problem # 54 der Hinweis, dass die Mauer im Norden oder Süden des Gartens stehen kann. Wir werden sehen, dass auch dies mit dem Standort des Betrachters zu tun hat.

Es wurde schon angekündigt, dass man nur durch Nachdenken das Problem im Wesentlichen lösen kann. Eine Leserin dieses Blogs könnte sich also vorstellen, im Schatten der Mauer Schutz vor der Sonne zu suchen, und zwar für eine längere Zeit vom Vormittag bis zum Nachmittag. Sie überlegt, wie der Lauf der Sonne den Schattenwurf der Mauer beeinflusst. Um die Sache nicht unnötig kompliziert zu machen, denkt sie dabei an ihren eigenen Wohnort, der vermutlich auf der Nordhalbkugel der Erde zwischen dem nördlichen Wendekreis und dem nördlichen Polarkreis liegt. Damit ist schon mal eine wichtige Frage geklärt: Diese Mauer steht an der Südgrenze des Gartens. Statt nun der oben formulierten spontanen Antwort zu vertrauen, überlegt die Leserin zunächst, ob die Jahreszeit eine Rolle spielen könnte.

Nur am Frühlings- und Herbstanfang (Tag- und Nachtgleichen) geht die Sonne genau im Osten auf und im Westen unter und steht genau  12  Stunden am Himmel. Im Winterhalbjahr, also zwischen Herbstanfang und Frühlingsanfang, ist diese Zeit kürzer, und die Sonne steht schon bei ihrem Aufgang hinter der Mauer (vom Ostpunkt in Richtung Süden verschoben). Im Sommerhalbjahr steht die Sonne länger als  12  Stunden am Himmel. Bei Sonnenaufgang (vom Ostpunkt in Richtung Norden verschoben) fällt der Mauerschatten in die "falsche" Richtung; erst später, wenn die Sonne den Ostpunkt überquert, sitzt die Leserin im Schatten. Der Lauf der Sonne über bzw. unter dem Horizont ist schematisch in Bild 2 dargestellt.

Horizont
Bild 2
Die Kreise stellen den Horizont der Leserin (grüner Punkt) mit Himmelsrichtungen dar; sie sitzt hinter der grünen Mauer. SA/SU stehen für Sonnenauf-/untergang.
In den orangenen Bereichen scheint die Sonne, in den schwarzen steht sie unter dem Horizont.
Die Skizzen gelten für diejenigen geographischen Breiten, in denen ganzjährig die Sonne mittags im Süden steht, d.h. zwischen dem nördlichen Wendekreis und dem nördlichen Polarkreis.


Unsere Leserin ist mit dem Sonnenlauf aus Bild 2 vertraut; er lässt sich ja auch leicht im Laufe eines Jahres beobachten. Welche Schlüsse zieht sie daraus? Zuerst denkt sie über das Winterhalbjahr nach. Die Sonne steht bei ihrem Aufgang für die Leserin hinter der Mauer (siehe Bild 2 Mitte), wirft also in diesem Moment einen unendlich langen Schatten; das Gleiche gilt beim Sonnenuntergang. Mittags dagegen hat der Schatten offenbar eine endliche Länge. In der linken Skizze von Bild 3 ist die Schattenlänge  t  mit drei schwarzen Punkten kurz nach dem Sonnenaufgang, mittags und kurz vor dem Untergang markiert; dabei kommt es nicht auf die genauen Positionen der Punkte an, sondern nur darauf, dass die Sonne morgens und abends einen viel längeren Schatten als mittags wirft. Und schon stellt sich bei der Leserin das Aha-Erlebnis ein! Sie geht von einer regelmäßigen Veränderung der Schattenlänge aus und kommt zu dem Schluss, dass diese ungefähr wie in der rechten Skizze von Bild 3 verlaufen muss.

Schattenlaenge im Winterhalbjahr
Bild 3
t  ist die Schattenlänge der Mauer. SA/SU stehen für Sonnenauf-/untergang.


Begründete Vermutung, ganz ohne Mathematik:
Im Winterhalbjahr nimmt die Schattenlänge bis mittags kontinuierlich ab und danach wieder zu.
Insbesondere ist der Schatten mittags am kürzesten.

Dies entspricht der häufigsten und spontanen Antwort auf das Problem.


Aber eigentlich findet die Leserin das Sommerhalbjahr interessanter; dann möchte sie nämlich an sonnigen, warmen Tagen im Schatten der Mauer ein Buch lesen. Man entnimmt der rechten Skizze in Bild 2, dass sie damit warten muss, bis die Sonne den Ostpunkt überschritten hat. Wenn die Sonne genau im Osten steht, wirft die Mauer keinen Schatten, es ist  t = 0 ;  dies gilt auch abends, wenn die Sonne im Westen steht. Wandert die Sonne morgens weiter, wächst der Schatten allmählich. Mittags hat der Schatten eine endliche Länge. In der linken Skizze von Bild 4 ist die Schattenlänge  t  mit drei schwarzen Punkten bei Sonnenaufgang, mittags und beim Untergang markiert; dabei kommt es nicht auf die genauen Positionen der Punkte an. Und hier hat die Leserin ihr zweites Aha-Erlebnis! Sie geht von einer regelmäßigen Veränderung der Schattenlänge aus und kommt zu dem Schluss, dass diese ungefähr wie in der rechten Skizze von Bild 4 verlaufen muss.

Schattenlaenge im Sommerhalbjahr
Bild 4
t  ist die Schattenlänge der Mauer. SA/SU stehen für Sonnenauf-/untergang.


Begründete Vermutung, ganz ohne Mathematik:
Im Sommerhalbjahr nimmt die Schattenlänge bis mittags kontinuierlich zu und danach wieder ab.
Insbesondere ist der Schatten mittags am längsten.

Dies ist genau das Gegenteil der häufigsten und spontanen Antwort auf das Problem.
Zu- und Abnahme des Schattens im Tagesverlauf verhalten sich im Winter- und Sommerhalbjahr umgekehrt zueinander.


Wir ziehen ein vorläufiges Fazit:
Man kann sich tatsächlich ohne Rechnungen ein plausibles Bild davon machen, welchen Schatten eine Mauer entlang der Südgrenze eines Gartens im Laufe eines Tages wirft  -  in Abhängigkeit von der Jahreszeit. Wir haben das hier für die nördlichen gemäßigten Breiten getan. Dabei haben wir unterstellt, dass die Veränderung der Schattenlänge einem relativ einfachen Graphen folgt; dies wird natürlich noch mathematisch begründet werden. Außerdem haben wir (vorläufig) Frühlings- und Herbstanfang ausgelassen (man kann aber auch dazu eine begründete Vermutung haben, da ja die Verhältnisse im Winter- und Sommerhalbjahr bereits betrachtet wurden und die beiden Tag- und Nachtgleichen die Schnittstellen zwischen diesen Halbjahren bilden; wir werden darauf zurückkommen).


Mathematisch ist nun einiges zu tun: Die nur durch Nachdenken gewonnenen Erkenntnisse sollen bewiesen werden; außerdem sollen auch die Tropen und die Polarregionen untersucht werden. Dafür ist es erforderlich, eine Funktion für  t  in Abhängigkeit von Uhrzeit, Datum und Breitengrad des Betrachters aufzustellen.  -  Wir werden auch Nordmauern betrachten und die Frage beantworten, wo und wann man auf der Erde am längsten im Schatten einer Mauer sitzen kann.


Geozentrische Koordinatensysteme

Für alle weiteren Überlegungen benötigen wir Kugelkoordinaten. Diese haben keine einheitliche Definition, da die Orientierung der "Länge" und der "Breite" verschieden gewählt werden kann. In Bild 5 sehen wir zunächst die Standard-Variante, wie sie oft auch für die geographischen Koordinaten auf der Erde verwendet wird, wenn man von den leichten Abweichungen von der Kugelform absieht. Die Kugel ist leicht zum Betrachter hin geneigt; der schwarze Punkt ist der höchste Punkt der Kugel mit den Koordinaten (x,y,z)=(0,0,r),  mit  r  als Radius der Kugel. Die Länge  β ∈[0°, 360°) läuft im Gegenuhrzeigersinn um die Erde, wenn man von der positiven  z-Richtung auf die  x-y-Ebene schaut;  liegt auf der positiven Richtung der  x-Achse. Die Breite  γ ∈[-90°, 90°] hat das gleiche Vorzeichen wie die  z-Koordinate.  -  Der grüne Punkt auf der Kugeloberfläche in Bild 5 lässt sich also sowohl mit kartesischen Koordinaten (x,y,z) als auch mit Kugelkoordinaten (β,γ,r) beschreiben.

Kugelkoordinaten

Bild 5    Kugelkoordinaten.  β  ist die "Länge"γ  die "Breite".

Eine einfache trigonometrische Herleitung führt für  r = 1  auf die folgende Transformation Kugelkoordinaten  →  kartesische Koordinaten:

(1)  x = cos γ cos β
     y = cos
 γ sin β
     z = sin
 γ

Bevor wir Kugelkoordinaten auf das Schattenproblem anwenden, sollen das geozentrische Modell und die Himmelssphäre erläutert werden. Beide Begriffe sind Hilfsmittel zum Verständnis der relativen Bewegungen von Erde und Sonne. Im heliozentrischen Modell wird die Sonne als fixiert und zentral angenommen, und die Erde kreist innerhalb eines Jahres um die Sonne, was u.a. an den Jahreszeiten erkennbar ist. Der Wechsel von Tag und Nacht zeugt von der Eigenrotation der Erde. Vor der Verbreitung der heliozentrischen Weltsicht war das geozentrische Modell weithin anerkannt, in dem die Erde als fixiert und zentral angenommen wird und die Sonne täglich um die Erde kreist; die Jahreszeiten werden durch die im Jahresverlauf wechselnden Einfallswinkel der Sonnenstrahlen erklärt. Es ist gänzlich unwissenschaftlich, das heliozentrische Modell als richtig und modern und das geozentrische Modell als falsch und veraltet zu betrachten. Beide Modelle sind geometrisch äquivalent, eine Unterscheidung nach richtig und falsch ist nicht möglich. Das heliozentrische System ist erheblich besser geeignet, wenn man unser gesamtes Planetensystem einbezieht. Für viele Erscheinungen, die wir auf der Erde beobachten und die den Sonnenstand betreffen, ist jedoch das geozentrische Modell gut geeignet und sehr anschaulich.

Im geozentrischen Modell bewegt sich die Sonne auf einer Kugel, deren Mittelpunkt die Erde ist. Den Radius der Kugel wollen wir als zu  1  normiert annehmen. Da die Entfernung Erde - Sonne etwas schwankt, handelt es sich nicht um eine exakte Kugel, was aber bei der Beschreibung vieler geo-astronomischer Phänomene unerheblich ist. Außerdem ist die Erde im Verhältnis zum Radius der Kugel winzig, so dass sie bei Bedarf näherungsweise als punktförmig betrachtet werden kann. Die Kugel bezeichnen wir als Himmelssphäre. Die Position der Sonne auf der Himmelssphäre wird mit Kugelkoordinaten angegeben. Dafür geben wir zwei Koordinatensysteme als Varianten von (1) an: Das horizontale Koordinatensystem beschreibt den Sonnenstand aus Sicht eines irdischen Betrachters mit der Höhe über dem Horizont und der Himmelsrichtung der Sonne. Im äquatorialen Koordinatensystem wird der Sonnenstand mit Hilfe des Datums und der Uhrzeit angegeben. Wie geht der geographische Breitengrad des Beobachters in die Berechnungen ein? Dies ist gerade diejenige Variable, die die beiden Koordinatensysteme verbindet, insbesondere eine Koordinatentransformation zwischen den Systemen erlaubt.

Beginnen wir mit dem horizontalen Koordinatensystem. Ausgangspunkt ist Bild 5. Die Kugel soll jetzt die Himmelssphäre darstellen, und die  x-y-Ebene soll die Horizontebene eines irdischen Beobachters sein. Dies sieht man in Bild 6 für Beobachter auf der nördlichen Hemisphäre. Der grüne Punkt in der Mitte der Kugel ist die Erde (nicht maßstäblich). Der Beobachter steht "oben" darauf; somit ist der schwarze Punkt, am höchsten Punkt der Kugel, der Zenit des Beobachters senkrecht über seinem Kopf. Die vier Himmelsrichtungen sind ebenfalls in Bild 6 eingetragen; ihre Orientierung ist so gewählt, dass die  x-Achse von Nord nach Süd verläuft, also negative  x-Werte im Norden, positive im Süden; die  y-Achse verläuft von West nach Ost mit negativen  y-Werten im Westen und positiven im Osten. Der Zenit hat die Koordinaten (x,y,z)=(0,0,1).  Der orangene Punkt stellt die Sonne dar (nicht maßstäblich). Ihre Höhe  h  entspricht dem Winkel  γ  in Bild 5. Steht die Sonne unter dem Horizont, so ist  h < 0 .  -  Für die Modellierung des Schattenwurfs ist es sinnvoll, eine andere Orientierung der Länge als in Bild 5 zu wählen. Die Zählung soll nun im Norden bei  beginnen. Da die Sonne erst im Osten und später im Westen steht, läuft die Länge, anders als in Bild 5, im Uhrzeigersinn. Dies sieht man in Bild 6 (blauer Winkel); die Länge  β  aus Bild 5 wird hier zur Himmelsrichtung  A  mit  90° für Osten,  180° für Süden und  270° für Westen.

Horizontale Koordinaten

Bild 6    Horizontale Koordinaten.  h  ist die Höhe der Sonne,  A  die Himmelsrichtung der Sonne.

In der Transformation (1) wird somit  γ  zu  h  und  β  zu  180°- A .

Transformation horizontale Koordinaten  →  kartesische Koordinaten:

(2)  x = - cos h cos A
     y = cos
 h sin A
     z = sin
 h


Nun zum äquatorialen Koordinatensystem. Ausgangspunkt ist wieder Bild 5. Die Kugel soll auch hier die Himmelssphäre darstellen. Zur Unterscheidung vom horizontalen System lauten die kartesischen Koordinaten hier (x~,y~,z~); die  x~-y~-Ebene enthält den Himmelsäquator  -  das ist die Projektion des irdischen Äquators auf die Himmelssphäre. Dies sieht man in Bild 7. Der schwarze Punkt mit den Koordinaten (x~,y~,z~)=(0,0,1) ist der Nordpol der Himmelssphäre und liegt senkrecht über dem irdischen Nordpol. Der Beobachter steht auf einem Punkt, dessen geographische Länge mit der positiven Richtung der  x~-Achse zusammenfällt; seine geographische Breite ist  φ .  Dann ist der blaue Punkt in Bild 7 die Projektion des Standorts des Beobachters auf die Himmelssphäre. Der orangene Punkt stellt wieder die Sonne dar. Ihre Breite wird als Deklination  δ  bezeichnet. Die Sonne läuft in einem Jahr in einer spiraligen Bahn vom südlichen Wendekreis (zu Winteranfang, Breite  δ = -23,44°) zum nördlichen Wendekreis (zu Sommeranfang, Breite  δ = 23,44°) und zurück. Ist  δ = ,  so beschreibt die Sonne an einem Tag (näherungsweise) einen Großkreis um den Himmelsäquator, steht also senkrecht über dem irdischen Äquator. Ist  δ  ,  so beschreibt die Sonne an einem Tag (näherungsweise) einen Kleinkreis auf der Himmelssphäre, parallel zur Äquatorebene, steht also senkrecht über dem irdischen Breitenkreis mit der Breite  δ .  Bei negativem  δ  steht die Sonne senkrecht über der Südhalbkugel der Erde, bei positivem  δ  über der Nordhalbkugel. Den Zusammenhang zwischen Deklination und Datum entnimmt man einer Tabelle.  -  Da ein Umlauf der Sonne auf einem dieser Groß- oder Kleinkreise einen Tag dauert, entspricht hier die Länge der Sonnenposition der Uhrzeit, die mit  τ  bezeichnet und in Grad angegeben wird. Für die Modellierung des Schattenwurfs ist es sinnvoll, eine andere Orientierung der Länge als in Bild 5 zu wählen. Die Zählung soll  -  wie im horizontalen System  -  um Mitternacht bei    beginnen und im Uhrzeigersinn laufen. Dies sieht man in Bild 7 (blauer Winkel); die Länge  β  aus Bild 5 wird hier zur Uhrzeit  τ  mit  90°  für  06:00 Uhr, 180°  für  12:00 Uhr  und  270°  für  18:00 Uhr .

Äquatoriale Koordinaten

Bild 7    Äquatoriale Koordinaten.  δ  ist die Deklination der Sonne,  τ  die Tageszeit in Grad,  φ  der Breitengrad des Beobachters.

In der Transformation (1) wird somit  γ  zu  δ  und  β  zu  180°- τ .

Transformation äquatoriale Koordinaten  →  kartesische Koordinaten:

(3)  x~ = - cos δ cos τ
     y~ = cos
 δ sin τ
     z~ = sin
 δ


Horizontales und äquatoriales System hängen eng zusammen. In Bild 7 steht der blaue Punkt senkrecht über dem Kopf des Beobachters, in Bild 6 der schwarze Punkt. Das bedeutet, dass das horizontale System durch eine Drehung aus dem äquatorialen System hervorgeht: Die  x-z-Ebene ist gegenüber der  x~-z~-Ebene um  90°- φ  gedreht; Drehachse ist die  y~-Achse, die mit der  y-Achse identisch ist. Die zugehörige Koordinatentransformation schaut man in einer Formelsammlung nach:

(4)  x = x~ sin φ - z~ cos φ      x~ = x sin φ + z cos φ
     y = y~
     z = x~
 cos φ + z~ sin φ      z~ = - x cos φ + z sin φ


Die Transformationen (2), (3) und (4) ermöglichen eine Vielzahl von Berechnungen für geo-astronomische Fragestellungen, wie z.B. Zeitpunkt und Himmelsrichtung des Sonnenaufgangs in Abhängigkeit von Datum und Breitengrad, Höhe und Himmelsrichtung der Sonne (→ Schattenwurf ! ) an einem bestimmten Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt, Ermittlung der Uhrzeit aus dem Sonnenstand usw. Insbesondere können wir überprüfen, ob sich der Mauerschatten tatsächlich wie in den Bildern 3 und 4 verändert.


Länge des Mauerschattens

Wir werden die Höhe der Mauer der Einfachheit halber  = 1  setzen. Andere Höhen wirken sich dann proportional auf die Schattenlänge aus. Der Schattenwurf hängt vom Höhenwinkel  h  der Sonne und von ihrer Himmelsrichtung  A  ab (horizontale Koordinaten). Atmosphärische Verzerrungen der Sonnenposition sollen hier nicht berücksichtigt werden.

Zwei schematische Zeichnungen (Bild 8) erleichtern die Orientierung. In der linken Skizze betrachten wir statt der Mauer einen Pfahl der Höhe  1  mit der Schattenlänge  s , in der rechten Skizze wird der Zusammenhang zwischen  s, t  und  α = A - 90°  deutlich, wenn es sich um eine Mauer im Süden des Gartens handelt.

Schattenwurf von Pfahl und Mauer
Bild 8

Der Winkel  α  beträgt  ,  wenn die Sonne im Osten steht,  90° im Süden und  180° im Westen. Nur das Intervall (0°,180°) kommt für  α  in Betracht, wenn der Schatten einer Südmauer in den Garten fallen soll. Aus Bild 8 erhält man:

s = cot h   und   t = s·sin α ,  also zusammen

(5)  t = cot h · sin α = - cot h · cos A

(5) gibt die Schattenlänge als Funktion der horizontalen Koordinaten an. Wir wollen aber die Tageszeit, das Datum (genauer: die Deklination) und den Breitengrad zur Berechnung von  t  heranziehen. Zu diesem Zweck haben wir bereits die Umrechnung auf äquatoriale Koordinaten angegeben. Aus (2), (4) und (3) folgt:

t = x/z = (x~ sin φ - z~ cos φ) / (x~ cos φ + z~ sin φ) =

        = (-
 cos δ · cos τ · sin φ - sin δ · cos φ) / (- cos δ · cos τ · cos φ + sin δ · sin φ)

Diesen Ausdruck kürzen wir mit   - cos δ · cos φ :

(6)  t = (cos τ · tan φ + tan δ) / (cos τ - tan δ · tan φ)

(6) ist die zentrale Formel für alle Berechnungen der Schattenlänge, die jetzt folgen.

In (6) kann  t  negativ werden. Dann steht die Sonne im Norden der Mauer, und der Mauerschatten fällt nach Süden. Das wäre z.B. in Bild 4 der Fall, nachdem die Sonne aufgegangen ist, aber noch nicht den Ostpunkt erreicht hat; in den Tropen und auf der Südhalbkugel kann dieser Fall auch mittags auftreten. Da die Idee unseres Schattenproblems war, dass man um die Mittagszeit im Schatten sitzen möchte, werden wir zwischen Mauern an der Südgrenze des Gartens und solchen an der Nordgrenze unterscheiden, falls es nötig ist.

Im Folgenden beschränken wir uns auf die Nordhalbkugel und den Äquator, also auf  φ ∈[0°,90°);  den Nordpol betrachten wir nicht, da er zu klein ist, um dort einen Garten anzulegen und eine Mauer zu bauen. Die Einschränkung auf die Nordhalbkugel ist nicht wesentlich, da man alle Ergebnisse auf die Südhalbkugel spiegeln kann (wenn man z.B.  φ  durch   und  δ  durch   ersetzt, werden beim Stand der Sonne und bei der Richtung des Schattens Nord und Süd vertauscht).

Ebenfalls aus Symmetriegründen werden wir nur die Zeit von Mitternacht bis zum Mittag betrachten, also  τ ∈[0°,180°].  Die Funktion  cos τ  in (6) ist symmetrisch zu  180°,  also sind die Schattenlängen z.B. um  10:00 Uhr  und um  14:00 Uhr  gleich.

Welche Tageszeiten  τ  tatsächlich in (6) eingesetzt werden können, um einen sinnvollen Wert für  t  zu erhalten, hängt natürlich von der Auf- und Untergangszeit der Sonne ab. Das wird weiter unten in iv. behandelt.  -  Hier soll aber vorab untersucht werden, wann und wo es gar keinen Auf- oder Untergang gibt. Im Winterhalbjahr herrscht nördlich des Breitengrads  90°+ δ  Dunkelheit; im Sommerhalbjahr scheint nördlich von  90°- δ  ganztägig die Sonne. Zur Begründung wollen wir uns die genauen Verhältnisse in Bild 9 anschauen; dort sieht man, dass es nur in der Polarregion vorkommen kann, dass es keinen Sonnenauf- oder untergang gibt.

Links in Bild 9  -  mit  δ < 0 ,  also im Winterhalbjahr  -  liegt der Bereich mit Breitengraden  > 90°+ δ  (blauer Bereich; Breitengrad in Hellgrün) rund um die Uhr im Dunkeln; es gibt also keinen Sonnenauf- oder untergang. Ein Beobachter auf dem Breitengrad  φ  befindet sich genau dann in diesem Bereich, falls  φ - δ > 90°.  Wegen  δ  -23,44° ist  φ > 66,56°, d.h. die Mauer steht in der Polarregion.

Rechts in Bild 9  -  mit  δ > 0 ,  also im Sommerhalbjahr  -  hat der Bereich mit Breitengraden  > 90°- δ  (orangener Bereich; Breitengrad in Grün) rund um die Uhr Sonnenschein; es gibt also keinen Sonnenauf- oder untergang. Ein Beobachter auf dem Breitengrad  φ  befindet sich genau dann in diesem Bereich, falls  φ + δ > 90°.  Wegen  δ  23,44°  ist  φ > 66,56°,  d.h. die Mauer steht in der Polarregion.

Polarwinter- und sommer
Bild 9
Polarwinter und Polarsommer

Fazit aus den Graphiken in Bild 9: Tage ohne Sonnenaufgang gibt es nur in der Polarregion, und es muss gelten:

(7)  φ - δ > 90°  ∨  φ + δ > 90°

Für die Grenzfälle  φ ± δ = 90°  kann man aus Bild 9 erkennen, dass zwar die Sonne den Horizont berührt, man aber nicht wirklich von Auf- oder Untergang sprechen kann. Im Winterhalbjahr steht die Sonne dann um genau  12:00 Uhr (für "-") kurz am Horizont, Auf- und Untergang fallen zusammen, ansonsten ist es Nacht.  -  Im Sommerhalbjahr sinkt die Sonne um  00:00 Uhr (für "+") kurz zum Horizont hinab und bleibt dann bis zur nächsten Mitternacht am Himmel, es fallen somit Untergang und Aufgang zusammen.

(7) wird weiter unten in iii. und iv. auf zwei verschiedenen rein rechnerischen Wegen bestätigt, also ohne Rückgriff auf Bild 9.

Bevor wir das Schattenproblem mit (6) allgemein lösen, soll die Anwendung von (6) anhand von fünf Einzelfragen (i. - v.) gezeigt werden, die einfache und anschauliche Lösungen haben.


i.  Schattenwurf der Mauer zu Frühlingsanfang

Diesen Fall hatten wir in Bild 3 und Bild 4 noch ausgespart. Zu Frühlingsanfang ist die Deklination der Sonne  δ = , gleiches gilt für den Herbstanfang. Wir beginnen mit diesem Spezialfall, weil er in der "Lösung durch Nachdenken" nicht vorkam, weil er eine interessante Lösung hat und weil er den Wert der Formel (6) schön aufzeigt.

Nach (6) ist zur Zeit der Tag- und Nachtgleiche

(8)  t = tan φ

Die Mauer wirft den ganzen Tag einen gleich langen Schatten! Eine Mauer der Höhe  H ,  die entlang des  50. Breitengrads verläuft, wirft einen Schatten von ca.  1,2·H .

Sieht man sich die Bilder 3 und 4 an, so ist (8) plausibel und hätte auch durch Nachdenken gefunden werden können. Denn an der Schnittstelle von "Kurve hat mittags ein Minimum" und "Kurve hat mittags ein Maximum" wird vermutlich "Kurve hat mittags kein Extremum" liegen.

Es gibt noch einen anderen und recht eleganten Weg, das Ergebnis (8) zu erhalten, und zwar ohne die Einbeziehung der Koordinatensysteme. Dazu stelle man sich vor (siehe Bild 10), dass die Mauer rund um die Erde auf dem Breitenkreis  φ (grün) und außerdem ins Erdinnere bis in den Mittelpunkt fortgesetzt wird. Bild 10 zeigt einen Querschnitt durch die Erde, der durch die Pole und den Erdmittelpunkt geht. Die schwarzen Strecken sind der Schnitt durch die Mauer  -  man erkennt, dass diese verlängerte Mauer einen Kegel bildet. Zur Tag- und Nachtgleiche steht die Sonne senkrecht über dem Äquator (violett) und beleuchtet eine Hälfte der Erde von Pol zu Pol (gelb). Die blaue Linie ist der obere Schattenrand; wegen der Parallelität der Sonnenstrahlen verläuft sie ebenfalls entlang eines Breitenkreises. Entlang des Breitenkreises  φ  kommen alle Uhrzeiten zwischen  06:00 Uhr  und  18:00 Uhr  im beleuchteten Bereich vor, und zu allen diesen Zeiten ist der Schatten gleich lang, und man kann auch  t = tan φ  in Bild 10 ablesen, wenn man die Erdkrümmung im Schattenbereich linearisiert. Für  φ =  steht die Mauer auf dem Äquator und wirft keinen Schatten:  t = 0 .

Fruehlingsanfang - Kegel
Bild 10
Tag- und Nachtgleiche. Die Sonne steht senkrecht über dem Äquator.



ii.  Schattenlänge am Mittag

Wir setzen in (6)  τ = 180°, also  cos τ = -1  und erhalten

t = (tan φ - tan δ)/(1 + tan δ·tan φ)

Zu diesem Ausdruck findet man eine Vereinfachung mittels des Additionstheorems für den Tangens :

(9)  t = tan(φ - δ)

Wir hatten schon in den Erläuterungen zu Bild 9 und (7) gesehen, dass für einen Schattenwurf  φ - δ < 90°  gelten muss.

(9) ist eine so einfache Formel, dass es dafür sicherlich auch eine geometrisch-anschauliche Begründung gibt. Diese wird mit Bild 11 gegeben. Dort ist der Querschnitt durch die Erde so angelegt, dass seine linke Hälfte dem Längengrad des Beobachters an der Mauer entspricht; dessen Breitengrad ist  φ .  Die Höhe der Mauer wird wieder als  1  genommen. Die Sonnenstrahlen fallen im Winkel  δ  ein (Deklination). Der Schatten  t  liegt im Bild auf der gekrümmten Peripherie, kann aber wegen der Größenverhältnisse als linear angenommen werden. Dann ist  tan(φ - δ)= t .

Mittagsschatten
Bild 11
Mittagsschatten

Ist  φ = δ ,  so ist  t = 0  (siehe auch v.). Ist  φ < δ ,  so ist  t < 0 ;  der Schatten fällt dann nach Süden.


iii.  Wo steht die Sonne beim Aufgang ?

Für die Richtung des Schattenwurfs (Nord- oder Südseite) ist die Himmelsrichtung  A  des Sonnenaufgangs  ( h = 0 )  relevant. Dafür gibt es die folgende einfache Lösung (10):

h = 0  ⇒  x = - cos A , z = 0      (nach (2))
           z~ = cos A cos φ      (nach (4))
           z~ = sin δ      (nach (3))

(10)  cos A = sin δ / cos φ

       ⇒   A ∈
 (0°,90°) (Nord bis Ost)  für  δ > 0  (Sommerhalbjahr)
            A = 90°      (Ost)  für  δ = 0  (Tag- und Nachtgleichen)
            A ∈ (90°,180°) (Ost bis Süd)  für  δ < 0  (Winterhalbjahr)

(10) bietet die Gelegenheit, Bild 9 sowie (7) zu überprüfen. Wann ist  sin δ / cos φ ∉[-1,1]?  Man kann sich an Bild 12 orientieren.

sin cos
Bild 12

Winterhalbjahr:  sin δ < - cos φ  ⇔  φ - δ > 90°

Sommerhalbjahr:  sin δ > cos φ  ⇔  φ + δ > 90°


iv.  Wann geht die Sonne auf ?

h = 0  ⇔  0 = z = x~ cos φ + z~ sin φ = - cos δ · cos τ · cos φ + sin δ · sin φ      (nach (2), (4), (3))

(11)  cos τ = tan δ · tan φ

      ⇒  τ
  (0°,90°)  (zwischen  00:00 und 06:00 )    für   δ > 0 ∧ φ > 0  (nördlich des Äquators im Sommerhalbjahr)
          τ = 90°       06:00 )    für   δ = 0 ∨ φ = 0  (am Äquator sowie an Tag- und Nachtgleichen)
          τ  (90°,180°)  (zwischen  06:00 und 12:00 )    für   δ < 0 ∧ φ > 0  (nördlich des Äquators im Winterhalbjahr)

Aus (11) folgt, dass es einen "echten" Sonnenaufgang genau dann gibt, wenn  tan δ·tan φ ∈(-1,1).  Für  tan δ·tan φ = ± 1  erhält man wieder einen nur punktuellen und gleichzeitigen Sonnenauf- und untergang um  00:00 Uhr (für "+") oder  12:00 Uhr (für "-"),  wie schon in den Erläuterungen zu (7) und Bild 9 behandelt.

Für welche  φ, δ  gilt  tan δ·tan φ (-1,1)?  Man wendet für die folgende Umformung die Produkttheoreme für Sinus und Cosinus an:

tan δ·tan φ = (sin φ·sin δ)/(cos φ·cos δ) =

    
  = (cos(φ-δ)- cos(φ+δ))/(cos(φ-δ)+ cos(φ+δ))
                                                >
 -1  ⇔  cos(φ-δ)> 0  ⇔  φ-δ < 90°
                                                <
 1  ⇔  cos(φ+δ)> 0  ⇔  φ+δ < 90°

Dies ist eine weitere Bestätigung von (7) und Bild 9. Insgesamt gilt also:

(12)    Sonne steht (in der ersten Tageshälfte) am Horizont  ⇔  h = 0  ⇔  cos τ = tan δ·tan φ  ∧  φ + |δ|  90°
Einen "echten" Sonnenaufgang gibt es nur für  φ + |δ| < 90° .


v.  Wann steht die Sonne im Osten ?

Diese Frage ist von besonderem Interesse für das Problem des Mauerschattens. Da die Mauer in West-Ost-Richtung steht, wirft sie keinen Schatten, wenn die Sonne im Osten steht; in (6) ist dann  t = 0 .

Da am Äquator besondere Umstände herrschen, gehen wir zunächst von  φ > 0  aus.

Sonne steht im Osten  ⇔  x =    y > 0  ⇔  cos τ = - tan δ cot φ    τ ∈(0°,180°)  ⇔  cos τ = - tan δ cot φ ∈(-1,1)

        Für die erste Äquivalenz nimmt man (2) mit  A = 90°  und  h  90°
            (weil es an den Polen keine Himmelsrichtungen gibt, siehe Bild 6).
        In der zweiten Äquivalenz folgt  τ ∈(0°,180°) aus (3)
        und  cos τ = - tan δ cot φ  mit (2), (4), (3) aus
        0 = x = x~ sin φ - z~ cos φ = - cos δ cos τ sin φ - sin δ cos φ .

Die Einschränkung  - tan δ/tan φ ∈(-1,1) bedeutet  φ >|δ|. Damit erhalten wir:

(13)    Zeitpunkt  τ  für Oststellung der Sonne:  cos τ = - tan δ cot φ    φ >|δ|

(13) harmoniert mit (6) für  t = 0 .

Es kommt also in den Tropen vor, dass die Sonne im Tagesverlauf nie im Osten steht, z.B. am 25. April  ( δ = 13°)  für einen Beobachter auf dem  10. Breitengrad. Wegen der Symmetrie des Sonnenlaufs gibt es dann auch keinen Westpunkt der Sonne.

Eine weitere Folgerung aus (13), falls es einen Ostpunkt gibt: Im Sommerhalbjahr steht die Sonne später als  06:00 Uhr  im Osten, denn dann ist  cos τ < 0 .  (Im Winter ist es umgekehrt, aber um  06:00 Uhr  steht die Sonne noch unter dem Horizont.)

Für unser Schattenproblem stellt sich auch ein Grenzfall von (13) als interessant heraus:

cos τ = - tan δ cot φ    φ = δ  ⇔  cos τ = -1  ∧  φ = δ  ⇔
    ⇔  x~
 = cos φ  ∧  y~ =  ∧  z~ = sin φ  ⇔
    ⇔  x
 =  ∧  y =  ∧  z = 1  ⇔  Sonne steht im Zenit

Warum ist das interessant? Nun, die Mauer wirft keinen Schatten  ( t = 0 ) , wenn die Sonne genau im Osten oder im Westen steht, aber eben auch, wenn sie im Zenit steht (was nur in den Tropen und auf den Wendekreisen vorkommt). Dieser Fall sollte nicht vergessen werden und wird abgedeckt durch den betrachteten Grenzfall von (13). Auch dies harmoniert wieder mit (6), denn dort folgt aus  cos τ = -1 ∧ φ = δ ,  dass  t = 0 .

Im Zenit ist die Himmelsrichtung  A  nicht definiert, aber die folgende Grenzwertbetrachtung zeigt, dass der Zenit einen "Sprung" für  A  bewirkt. Bei der vormittäglichen Annäherung an den Zenit bewegt sich nämlich die Sonne gen Osten und springt nach dem Zenit auf die Westseite. Für den Beweis müssen wir zuerst  A  in allgemeiner Form berechnen:

Für  y  0  gilt nach (2), (4):  cot A = - x/y = (- x~ sin φ + z~ cos φ)/y~ .  Daraus folgt mit (3):

(14)    Himmelsrichtung  A  für den Sonnenstand:  cot A = cot τ sin φ + csc τ tan δ cos φ

Bei der Berechnung von A mit (14) verwendet man:

A ∈(0°,180°) ⇔ τ ∈(0°,180°), da beide Aussagen äquivalent zu  y = y~ > 0  sind.
A ∈(180°,360°) ⇔ τ ∈(180°,360°), da beide Aussagen äquivalent zu  y = y~ < 0  sind.

Ist  y = 0 ,  so bleiben für  A  und  τ  nur die Fälle  =  oder  = 180° übrig. In unseren gemäßigten Breiten gilt, dass um  00:00 Uhr  beide  =  sind und um  12:00 Uhr  beide  = 180°. Betrachtet man die ganze Nordhalbkugel, gibt es folgende Ausnahmen, die direkt aus den bisherigen Überlegungen folgen:

(15)  τ = 0° ∧ A = 180°,  falls  φ < 
      τ
 = 180° ∧ A = ,  falls  φ < δ
      τ
 = 0° ∧ φ = -δ  →  Sonne im Nadir
      τ = 180° ∧ φ = δ  →  Sonne im Zenit

Zurück zur Grenzwertbetrachtung: Hier ist  φ = δ ,  also  cot A = sin φ(cot τ + csc τ).

τ → 180°-+ : lim cot A = sin φ·lim(1 + cos τ)/sin τ = - sin φ·lim tan τ = 0+-  (nach L'Hospital)
      τ → 180°-  ⇔  A → 90°-
       
(am Vormittag nähert sich die Sonne der Oststellung vom Nordosten her,
       erreicht den Osten aber nicht, da sie mittags im Zenit steht)
      τ → 180°+  ⇔  A → 270°+
       
(ab dem Mittag geht die Sonne aus dem Zenit in Richtung Westen
       und weiter nach Nordwesten)

Der andere Grenzfall  φ = - δ  ist für das Schattenproblem weniger interessant, soll aber der Vollständigkeit halber erwähnt werden. Analog zum bereits behandelten Grenzfall erhält man:
cos τ = - tan δ cot φ    φ = -δ  ⇔  cos τ =    φ = - δ  ⇔  x =    y =    z = -1  ⇔  Sonne steht im Nadir
Analog zum ersten Grenzfall gibt es hier um Mitternacht einen West-/Ost-Sprung.


Den Fall  φ = , also Standort auf dem Äquator, hatten wir noch ausgespart. Aus (14) folgt:

0 = cot A = csc τ tan δ

Für  δ  0  steht also die Sonne am Äquator nie im Ostpunkt. Für  δ = 0 ,  also zur Tag- und Nachtgleiche, steht die Sonne vormittags im Osten, mittags im Zenit und nachmittags im Westen; ganztägig gilt dann für die Schattenlänge  t = 0 .


Definitionsbereich für (6)

Durch die Ausführungen zu (6) und Bild 9 sowie durch iii. und iv. haben wir jetzt ein Bild davon, unter welchen Einschränkungen wir die Schattenlänge der Mauer  t  in Abhängigkeit von der Tageszeit  τ  mit (6) berechnen können. Da wir nur die erste Tageshälfte in Betracht ziehen müssen, reicht es, für den Definitionsbereich die Sonnenaufgangszeit  τo  heranzuziehen. Nach (6), (7), (12) gilt:

(16)    Definitionsbereich für die Schattenlänge  t
         
(erlaubte Tageszeiten  τ ∈[0°,180°]):

      τ
 > τo = arccos(tan δ tan φ)  für  φ +|δ|< 90°

      τ
 > τo = 0°  für  φ + δ = 90°

      τ
  0°  für  φ + δ > 90°

      
Bei Sonnenaufgang  τo  ist der Schatten unendlich lang; Ausnahme:  δ = 0° →  t = 0.

Begründung: Die erste Zeile von (16) folgt aus (11) und (12); dies ist der "Normalfall" mit einem Sonnenaufgang später als Mitternacht und früher als Mittag.  -  Die zweite und die dritte Zeile ergeben sich aus den Erläuterungen zu (6) und (7), siehe auch iv.. Die zweite Zeile betrifft die Polarregion im Sommerhalbjahr an den Tagen, wenn die Sonne den ganzen Tag scheint und um Mitternacht den Horizont berührt.  -  Die dritte Zeile betrifft ebenfalls den Sommer in der Polarregion, wenn die Sonne ganztägig, auch an Mitternacht, am Himmel steht.

Für den Zeitpunkt des Sonnenaufgangs  τo  und für  δ  0  sollen noch die Grenzwerte berechnet werden:

Nenner in (6):  cos τ - tan δ·tan φ = cos τ - cos τo  hat nach (11) und wegen  τ > τo  für  τ  τo  den Grenzwert  0- .

Zähler in (6):  cos τ·tan φ + tan δ  hat wegen (11) in einer Umgebung von  τo  das gleiche Vorzeichen wie  δ  und für  τ  τo  den Grenzwert  tan δ (1 + tan2 φ) ≠ 0 .

(17)    Winterhalbjahr:  δ < 0  →  lim t = +   für  τ  τo+ .

           Sommerhalbjahr:  δ > 0  →  lim t = -   für  τ  τo+ .


Schattenwurf im Tagesverlauf

Nun folgt die eigentliche Aufgabe: Wir diskutieren die Funktion  t  in Abhängigkeit von  τ .  Aus Symmetriegründen können wir uns in (6) wieder auf  τ  180°  beschränken.

Die Definitionsbereiche und Grenzwerte bei Vorliegen von  φ  und  δ  entnimmt man (16) und (17).

Für die weitere Kurvendiskussion sei zunächst  φ > .

Nullstellen (Sonne im Osten oder im Zenit):
    t = 0 ,  falls  cos τ = - tan δ cot φ    φ >|δ|
    t = 0 ,  falls  cos τ = -1    φ = δ  (12:00 Uhr)

Wir setzen nun zur Abkürzung in (6)  f = tan φ  und  d = tan δ :

t = f·(cos τ + d/f - d·f + d·f)/(cos τ - d·f) = f·(1 +(d/f + d·f)/(cos τ - d·f))

(18)  t = f +(d + d·f2)/(cos τ - d·f)
      t'
 = sin τ (d + d·f2)/(cos τ - d·f)2  mit gleichem Vorzeichen wie  δ
      t''
 = (d + d·f2)(2 - d·f cos τ - cos2 τ)/(cos τ - d·f)3

Nun zum Äquator  = 0°):
Für den Definitionsbereich nimmt man nach (16)  τo = 90°  mit den Grenzwerten aus (17). Am Ende von v. wurde festgestellt, dass  t keine Nullstellen hat; Ausnahme  δ = : an den Tag- und Nachtgleichen ist am Äquator vom Aufgang bis zum Untergang der Sonne  t = 0 .
(18) wird am Äquator zu: t = d /cos τ  und  t' = d tan τ /cos τ  und  t'' = d (2 - cos2 τ) /cos3 τ .

Wir werden die Nullstellen von  t''  in (18) benötigen und setzen dafür  u = cos τ .  Der Zähler von  t''  hat die Nullstellen  u1,2 = 4/((d2f2 + 8)1/2 ± df).  Eine solche Nullstelle führt aber nur dann zu einem  τ  im Definitionsbereich, wenn sie in (-1,1) liegt. Das ist nicht der Fall, wenn es einen Sonnenaufgang gibt, also  df  (-1,1) ist, denn dann gilt  u1,2 > 1 . Wir werden aber noch sehen, dass  t  einen Wendepunkt hat, wenn es keinen Sonnenaufgang gibt (Polarsommer).

Im Folgenden wird die Funktion  t  für verschiedene Szenarien betrachtet  -  je eines für das Winterhalbjahr und die Tag- und Nachtgleichen und vier für das Sommerhalbjahr. Die Szenarien unterscheiden sich im Verlauf des Graphen für  τ ,  weisen aber alle die gleiche Berechnung (10) für die Himmelsrichtung  A  auf, die die Sonne bei ihrem Aufgang einnimmt:  cos A = sin δ / cos φ .


Schattenwurf im Winterhalbjahr

Nach (16) gibt es einen Sonnenaufgang für  δ <   nur in den Breiten unterhalb  90° + δ ,  und zwar für  φ >   um  τo > 90°  nach (11), also nach  06:00 Uhr . Am Äquator  = 0°) ist  τo = 90°

Einen Ostpunkt oder Zenitpunkt innerhalb des Definitionsbereiches gibt es nach v. nicht; die Sonne steht bereits vor  06:00 Uhr  im Osten.

Der Grenzwert für  t  bei Sonnenaufgang ist  +   nach (17).

Mittags beträgt die Schattenlänge nach (9)  tan(φ-δ) > 0 . Die Sonne steht also vom Aufgang bis zum Untergang hinter der Südseite der Mauer; insbesondere hat  t  keine Nullstelle.

Wie verläuft der Graph für  t ?  Nach (18) fällt  t  streng monoton auf o , 180°], hat also aus Symmetriegründen ein absolutes Minimum um  12:00 Uhr .  Wir haben schon gesehen, dass  t''  keine Nullstelle hat; bei  τ = 180°  ist  t'' > 0 ;  also ist der Graph konvex.

Winterhalbjahr
Bild 13
Winterhalbjahr; Ost- und Westpunkt sind eingeklammert, weil nach v. für  φ > |δ|  die Sonne zu diesen Zeitpunkten unter dem Horizont steht und weil es für  φ  |δ|  keinen Ost- oder Westpunkt gibt.

Die Vermutung aus Bild 3 wurde bestätigt.


Schattenwurf zu den Tag- und Nachtgleichen

(8), (13), (16) und der letzte Absatz von v. ergeben den konstanten Schattenverlauf in Bild 14:

Equinox
Bild 14
Tag- und Nachtgleichen

Am Äquator ergibt sich die Besonderheit, dass die Sonne mittags im Zenit steht; vorher steht sie  6  Stunden im Osten, danach  6  Stunden im Westen.


Schattenwurf im Sommerhalbjahr im Polarbereich  φ > 90°- δ 

Nach Bild 9 und (7) und (12) steht den ganzen Tag (24 h) die Sonne am Himmel. Das harmoniert mit dem Definitionsbereich  τ    in (16).

Der Ostpunkt  -  und damit eine Nullstelle für (6)  -  liegt nach (13) bei  cos τ = - tan δ cot φ ,  das ist nach v. später als  06:00 Uhr .

Mittags beträgt die Schattenlänge nach (9)  tan(φ-δ) > 0 . Mit einer analogen Rechnung wie in (9) ergibt sich die Schattenlänge um Mitternacht zu  tan(φ+δ) < 0 .

Die Sonne steht also um die Mittagszeit  -  vom Ostpunkt bis zum Westpunkt  -  südlich der Mauer, davor und danach nördlich der Mauer.

Wie verläuft der Graph für  t ?  Nach (18) wächst  t  streng monoton auf [0°180°], hat also aus Symmetriegründen ein absolutes Minimum um  00:00 Uhr und ein absolutes Maximum um  12:00 Uhr .  -  Aus den Rechnungen zur Herleitung von (12) entnimmt man  df > 1 .  Dann gibt es in (18) genau eine passende Nullstelle von  t'' ,  nämlich  cos τ1 = u1 = 4/((d2f2 + 8)1/2 + df)  (0,1),  also  τ1 ∈(0°,90°).  Bei  τ =   ist  t'' > 0  und bei  τ = 180°  ist  t'' < 0 ;  also ist der Graph von konkav in (0°τ1) und konvex in 1 , 180°).

Polarbereich
Bild 15
Sommerhalbjahr, Polarbereich

Die Vermutung aus Bild 3 wurde auch hier bestätigt.


Schattenwurf im Sommerhalbjahr in den mittleren Breiten  δ < φ ≤ 90°- δ 

Der Definitionsbereich ergibt sich aus (16). Man beachte die Besonderheit, dass für  φ = 90°- δ  der Definitionsbereich (0°,180°] ist und um Mitternacht die Sonne am Horizont steht und einen unendlich langen Schatten wirft.

Der Ostpunkt  -  und damit eine Nullstelle für (6)  -  liegt nach (13) bei  cos τ = - tan δ cot φ ,  das ist nach v. später als  06:00 Uhr .

Mittags beträgt die Schattenlänge nach (9)  tan(φ-δ) > 0 . Die Sonne steht also um die Mittagszeit  -  vom Ostpunkt bis zum Westpunkt  -  südlich der Mauer, davor und danach nördlich der Mauer.

Wie verläuft der Graph für  t ?  Nach (18) wächst  t  streng monoton auf 0 , 180°], hat also aus Symmetriegründen ein absolutes Maximum um  12:00 Uhr .  -  In den Erläuterungen hinter (18) wurde gezeigt, dass  t''  keine Nullstelle hat. Bei  τ = 180°  ist  t'' < 0 ,  also ist der Graph konkav.

mittlere Breiten
Bild 16
Sommerhalbjahr, mittlere Breiten

Die Vermutung aus Bild 3 wurde auch hier bestätigt.


Schattenwurf im Sommerhalbjahr in den äquatornahen Tropen   < φ ≤ δ 

Der Definitionsbereich zwischen Sonnenauf- und untergang ergibt sich wieder aus (16).

Die Sonne steht nach v. zu keiner Tageszeit im Osten oder im Westen (auch nachts nicht!).

Mittags beträgt die Schattenlänge nach (9)  tan(φ-δ)  0 . Die Sonne steht also immer nördlich der Mauer  -  mit der Einschränkung, dass für  tan(φ-δ) = 0 , also für  φ = δ ,  die Sonne um  12:00 Uhr  im Zenit steht und keinen Schatten wirft (siehe v.).

Wie verläuft der Graph für  t ?  Nach (18) wächst  t  streng monoton auf 0 , 180°], hat also aus Symmetriegründen ein absolutes Maximum um  12:00 Uhr .  -  In den Erläuterungen hinter (18) wurde gezeigt, dass  t''  keine Nullstelle hat. Bei  τ = 180°  ist  t'' < 0 ,  also ist der Graph konkav.

Tropen
Bild 17
Sommerhalbjahr, äquatornahe Tropen


Schattenwurf im Sommerhalbjahr am Äquator :  φ = 0° 

Am Äquator geht die Sonne jeden Tag um 06:00 Uhr auf, siehe (16). Der Definitionsbereich ist somit (90°,180°].

Die Sonne steht nach v. zu keiner Tageszeit im Osten oder im Westen (auch nachts nicht!).

Mittags beträgt die Schattenlänge nach (9)  tan(-δ) < 0 . Die Sonne steht also immer nördlich der Mauer.

Wie verläuft der Graph für  t ?  Nach (18) wächst  t  streng monoton, hat also aus Symmetriegründen ein absolutes Maximum um  12:00 Uhr .  -  In den Erläuterungen hinter (18) wurde gezeigt, dass  t''  keine Nullstelle hat. Bei  τ = 180°  ist  t'' < 0 ,  also ist der Graph konkav.

Äquator
Bild 18
Sommerhalbjahr, Äquator




Zusammenfassung

Die Leserin aus der Einleitung wohnt auf der Nordhalbkugel und konnte mit einer einfachen Überlegung korrekt auf den Verlauf der Schattenlänge schließen:
  • Wenn der Garten eine Südmauer hat, kann man im Winterhalbjahr vom Sonnenauf- bis zum untergang im Schatten sitzen, sofern man sich nicht zu weit in die Polarregion begibt; der Mauerschatten ist mittags am kürzesten.

  • Im Sommerhalbjahr wirft die Mauer ihren Schatten vom Ostpunkt der Sonne bis zu ihrem Westpunkt in den Garten, sofern man sich nicht zu weit in die Tropen begibt; der Mauerschatten ist mittags am längsten.
Eine interessante zusätzliche Erkenntnis ist:
  • Zu Frühlings- und Herbstanfang ist der Schatten vom Sonnenauf- bis zum untergang immer gleich lang.
An bestimmten Orten und zu bestimmten Zeiten bräuchte man aber eine Nordmauer, um im Schatten sitzen zu können:
  • Ist man im Sommerhalbjahr nah genug am Äquator, steht die Sonne vom Auf- bis zum Untergang hinter der Nordmauer.

  • Ansonsten steht im Sommerhalbjahr die Sonne von ihrem Aufgang bis zu ihrem Ostpunkt und vom Westpunkt bis zum Untergang hinter der Nordmauer.



Zum Abschluss: Wann und wo ist die Schattendauer am längsten ?

Zuerst zur Südmauer: Den Bildern 13 bis 16 entnimmt man, dass auf jedem Breitengrad die Schattendauer am längsten am Frühlings- und Herbstanfang ist, und zwar  12  Stunden.

Für die Nordmauern schauen wir erst ganz in den Norden (Bilder 15 und 16). Der Ostpunkt nimmt im Polarbereich (φ  90°-δ) den maximalen Wert an, wenn  δ  möglichst groß und  φ  möglichst klein wird, also bei  δ = 23,44°  und  φ = 66,56°, d.h. bei Sommeranfang am Polarkreis. Der Schattenwurf nach Süden dauert dann vom Westpunkt über Mitternacht bis zum Ostpunkt  13h 26' 41''.  -  In Äquatornähe (φ  δ) liegt der Sonnenaufgang am frühesten, wenn  δ  und  φ  maximal sind, also bei  δ = φ = 23,44°, d.h. bei Sommeranfang am nördlichen Wendekreis. (siehe Bild 17). Der Schattenwurf nach Süden dauert dann ebenfalls  13h 26' 41''.

13h 26' 41'' bei Sommeranfang am nördlichen Wendekreis ist die längste Schattendauer, die die Mittagszeit umfasst. Dabei wurde bereits davon ausgegangen, dass die Schattendauer in den mittleren Breiten geringer ist. Dies muss noch gezeigt werden:

Wir betrachten in Bild 16 (δ = φ  aus Bild 17 wird der Einfachheit halber mit einbezogen) die Differenz von Ostpunkt  τost  und Sonnenaufgang  τo .  Diese hat ihr Maximum dort, wo auch  cos τo - cos τost  ein Maximum annimmt.

cos τo - cos τost = tan δ (tan φ + cot φ)

Für den größten Wert dieser Differenz ist das größtmögliche  δ  zu nehmen, also  δ = 23,44°. Für  φ  im Intervall  [δ, 90°-δ]  fällt  tan φ + cot φ  streng monoton auf  [δ, 45°] und wächst streng monoton auf  [45°, 90°-δ], hat also die größten Werte bei  φ = δ = 23,44° und  φ = 90°-δ = 66,56°. Das sind die bereits gefundenen Maxima.


Bemerkung zur Genauigkeit der Angaben: Der Schattenwurf einer Mauer ist gut beobachtbar und messbar. Die dazu in dieser Lösung gemachten Angaben sind für "Alltagsbeobachtungen" hinreichend genau, obwohl sie von idealisierten Bedingungen ausgehen (u.a. Kugelgestalt der Erde). In Wirklichkeit gibt es aber geringe Abweichungen: So ist z.B. die Sonne beim Aufgang wegen des Linseneffekts der Atmosphäre etwas früher als angegeben sichtbar. Auch läuft die Sonne an einem bestimmten Tag nicht exakt parallel zum Äquator mit der gleichen Deklination  δ ∈[-23,44°, 23,44°], sondern beginnt ein wenig weiter südlich und endet ein wenig weiter nördlich oder umgekehrt. Dies alles beeinträchtigt die gefundenen Ergebnisse aber nicht nennenswert.


Die Deutsche Post hat 2009 zwei Ersttagsstempel herausgegeben, die horizontale und äquatoriale Koordinaten zeigen, siehe Briefmarke # 77 .


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Stand 2020-05-14


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