Pythagoreische Tripel – ein Beweis ohne Worte
Es soll ein Satz über Pythagoreische Tripel bewiesen werden, also über \(~(a,~b,~c) \in \text{N}^3~\) mit \(~a^2+b^2=c^2~\). Um solche Tripel ging es schon einmal in Problem # 96.
Satz Für jedes \(~a\ge 3~\) gibt es ein Pythagoreisches Tripel.
Es wird ein Beweis ohne Worte gezeigt. Die Aufgabe des Lesers ist lediglich, diesen Beweis zu verstehen. Hier ist er:
Bild 1
Es folgt noch eine kleine Zusatzaufgabe: \(~a~\) kann immer als kleinste Zahl im Tripel gewählt werden – mit einer einzigen Ausnahme.
Lösung
Nach Problem # 133 stammt auch dieses Problem von Allan J. Gottlieb (Technology Review, Puzzle Corner 4/1975, Problem MAY3, Lösung in 7/1975).
Wir versetzen uns in den Gedankengang eines Problemlösers. Er sieht eine Gleichung (Pythagoras) und zwei Graphiken (Bild 1). Ein Zusammenhang fällt auf, nämlich (salopp formuliert):
- Pythagoras: Quadrat + Quadrat = Quadrat
- Graphiken: "grau" + Quadrat = Quadrat
Das legt natürlich nahe, dass die grauen Flächen \(~a^2~\) entsprechen sollen. Der Satz behauptet, dass das für alle \(~a\ge 3~\) möglich ist. Und in der Tat muss man dafür nichts ausrechnen, denn ein Blick auf die Graphiken genügt.
Was unterscheidet die beiden Graphiken? Legt man nur einen "einfachen" grauen Rand wie in der linken Graphik, so ist die Anzahl der grauen Kästchen immer ungerade. Bei einem "doppelten" grauen Rand wie in der rechten Graphik ist die Anzahl der grauen Kästchen immer gerade. – Die beiden Graphiken stellen die Pythagoreischen Tripel \(~(3,~4,~5)~\) und \(~(6,~8,~10)~\) dar.
Ein kurzes Nachdenken ist aber noch erforderlich: Warum lässt sich jedes \(~a^2~\) mit \(~a\ge 3~\) als L-förmiger Rand wie in den grauen Bereichen in Bild 1 legen?
Für ungerade \(~a~\) geht es ganz einfach: Offenbar lässt sich jede ungerade Zahl von grauen Kästchen so legen wie in Bild 1 links, also insbesondere auch \(~a^2~\).
Die rechte Graphik in Bild 1 zeigt, dass sich jede durch \(~4~\) teilbare Zahl (\(\gt 4~\)) als ein L-förmiger "Doppelrand" legen lässt. Und da für gerade \(~a~\) auch \(~a^2~\) durch \(~4~\) teilbar ist, ist die Richtigkeit des Satzes klar.
Schauen wir uns den Gedankengang des Problemlösers nochmal an: Alle Schritte ergeben sich durch Betrachtung der Graphiken und etwas Nachdenken, ganz ohne Rechnung. Allan Gottlieb hat uns also ein schönes Beispiel für einen Beweis ohne Worte gezeigt.
Bild 2
In Bild 2 sehen wir, wie sich ein vorsichtiger Problemlöser an den Beweis herantastet: Indem er die ersten vier möglichen Werte für \(~a~\) ausprobiert (auch das geht in Gedanken, also ohne Stift und Papier!).
Es sollte erwähnt werden, dass der Einstieg ins Problem mit Bild 1 auch leicht verändert werden kann, indem die Graphik noch etwas ansprechender gestaltet wird – siehe Bild 3:
Bild 3
Zusatzaufgabe: \(~a~\) kann immer als kleinste Zahl im Tripel gewählt werden – mit einer einzigen Ausnahme.
Die Methode aus dem Beweis ohne Worte wollen wir "L-Verfahren" nennen. Für dieses Verfahren soll \(~a\lt b~\) überprüft werden.
\(a~\) ungerade
\(b~=~(a^2-1)/2\) \(c~=~b+1~=~(a^2+1)/2\)
Man kann sich leicht davon überzeugen, dass dann \(~a^2+b^2~=~c^2~\) gilt:
\(c^2-b^2~=~(c+b)(c-b)~=~a^2\cdot 1\)
\(\bullet\) Nun zu \(~a\lt b~\): \(~a~\ge~3~~~\Rightarrow~~~(a-1)^2\gt 2~~~\Rightarrow~~~a^2-2a-1~\gt~0~~~\Rightarrow~~~a~\le~(a^2-1)/2~=~b\)
\(a~\) gerade
In der oberen rechten Ecke liegen \(~4~\) Kästchen. Also gilt:
\(b~=~(a^2-4)/4~=~a^2/4-1\) \(c~=~b+2~=~a^2/4+1\)
Man kann sich leicht davon überzeugen, dass dann \(~a^2+b^2~=~c^2~\) gilt:
\(c^2-b^2~=~(c+b)(c-b)~=~(a^2/2)\cdot 2\)
\(\bullet\) Nun zu \(~a\lt b~\): Die einzige Ausnahme sehen wir in Bild 2 mit \(~a=4~\) und \(~b=3~\). – \(~a~\gt~4~~~\Rightarrow~~~a^2-4a+4~=~(a-2)^2\gt 8~~~\Rightarrow~~~a^2-4a-4~\gt~0~~~\Rightarrow~~~a~\lt~a^2/4-1~=~b\)
Bemerkung
Das L-Verfahren aus der Zusatzaufgabe lässt uns also \(~a^2+b^2=c^2~\) für alle \(~a\ge 3~\) graphisch konstruieren, um ein Pythagoreisches Tripel zu erhalten – so wie in den Bildern 1 und 2. Man muss dazu lediglich die Seitenlänge \(~c~\) des großen Quadrats kennen; diese wurde oben angegeben:
\(c=(a^2+1)/2~\) für ungerade \(~a~\) und \(~c=a^2/4+1~\) für gerade \(~a~\).
Das bedeutet natürlich nicht, dass \(~a~\) nur in diesem Pythagoreischen Tripel auftritt. Wir führen im Folgenden beispielhaft verschiedene Varianten auf:
- \(~a=11~\) Das L-Verfahren führt auf ein einziges Pythagoreisches Tripel:
\(~11^2 + 60^2 = 61^2\)
- \(~a=9~\) Es gibt genau zwei Pythagoreische Tripel mit \(~a~\); \(a~\) ist jeweils die kleinste Zahl (also die kleine Kathete):
\(~9^2 + 40^2 = 41^2~\) Dieses Tripel erhält man mit dem L-Verfahren.
\(~9^2 + 12^2 = 15^2\)
Statt zwei Tripeln können es auch mehr sein: \(~a=27~\) führt auf drei Tripel mit \(~a~\) als kleinster Zahl.
- \(~a=8~\) Es gibt genau zwei Pythagoreische Tripel mit \(~a~\); mit \(~a~\) als kleinster Zahl und mit \(~a~\) als mittlerer Zahl (also als kleine und als große Kathete):
\(~8^2 + 15^2 = 17^2~\) Dieses Tripel erhält man mit dem L-Verfahren.
\(~6^2 + 8^2 = 10^2\)
Statt zwei Tripeln können es auch mehr sein: \(~a=12~\) führt auf zwei Tripel mit \(~a~\) als kleinster und auf zwei Tripel mit \(~a~\) als mittlerer Zahl.
- \(~a=5~\) Es gibt genau zwei Pythagoreische Tripel mit \(~a~\); mit \(~a~\) als kleinster Zahl und mit \(~a~\) als größter Zahl (also als kleine Kathete und als Hypotenuse):
\(~5^2 + 12^2 = 13^2~\) Dieses Tripel erhält man mit dem L-Verfahren.
\(~3^2 + 4^2 = 5^2\)
Statt zwei Tripeln können es auch mehr sein: \(~a=25~\) führt auf zwei Tripel mit \(~a~\) als kleinster und auf zwei Tripel mit \(~a~\) als größter Zahl.
- \(~a=4~\) Das L-Verfahren führt auf ein einziges Pythagoreisches Tripel, und auf das einzige mit \(~a~\) als mittlerer Zahl:
\(~3^2 + 4^2 = 5^2\)
- \(~a=200~\) Dieses \(~a~\) kommt als kleinste, mittlere und größte Zahl in Pythagoräischen Tripeln vor. Hier wurde ein sehr großes Beispiel gewählt, mit insgesamt 14 Fällen. Das L-Verfahren führt auf:
\(~200^2 + 9999^2 = 10001^2~\) Es gibt noch neun weitere Tripel mit \(~a~\) als kleinster Zahl.
\(a~\) als mittlere Zahl: \(~45^2 + 200^2 = 205^2~\) Es gibt noch ein weiteres Tripel mit \(~a~\) als mittlerer Zahl.
\(a~\) als größte Zahl: \(~56^2 + 192^2 = 200^2~\) Es gibt noch ein weiteres Tripel mit \(~a~\) als größter Zahl.
Weblink: Pythagoreische Tripel von Arndt Brünner
Blogbeitrag: Zahlen, die in genau einem Pythagoreischen Tripel auftauchen
Einen weiteren Beweis ohne Worte zum Satz des Pythagoras findet man auf der Briefmarkenseite # 130.
Kategorie: Beweise ohne Worte
Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π
Publiziert 2026-04-29 Stand 2024-06-20
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