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2026-04-29                                                                 Kommentare sind willkommen.


Zahlen, die in genau einem Pythagoreischen Tripel auftauchen

Pythagoreische Tripel werden auch in Problem # 96 und in Problem # 136 behandelt.

In diesem Beitrag geht es um Zahlen, die in genau einem Pythagoreischen Triple auftreten, also in einem natürlichen Tripel \(~(a,b,c)~\) mit \(~a^2+b^2=c^2~\).  Wir wollen das Tripel als geordnet betrachten, also \(~3\le a\lt b\lt c~\).

Lemma   Jede natürliche Zahl \(~n\ge 3~\) kommt in mindestens einem Pythagoreischen Tripel vor. Sie kann immer als kleinste Zahl \(~n=a~\) im Tripel gewählt werden, mit der Ausnahme \(~n=b=4~\).

Beweis   Im Problem # 136 wurde eine Methode vorgestellt, die das Lemma für \(~n\neq 4~\) beweist. Für \(~b=4~\) gibt es das Beispiel \(~(3,4,5)~\).  Die Annahme \(~n=a=4~\) führt (wegen \(~b~\) und \(~c~\) beide gerade oder beide ungerade) auf \(~c^2-b^2~\ge~(b+2)^2-b^2~=~4(b+1)~\gt~16~=~a^2~\), also auf einen Widerspruch.

Satz   Zahlen \(~n~\),  die in genau einem Pythagoreischen Triple auftreten, sind entweder \(~n=b=4~\) oder \(~n=a=p~\) oder \(~n=a=2p~\) mit \(~p=4j+3~\) prim.

3, 4, 6, 7, 11, 14, 19, 22, 23, 31, 38, 43, 46, 47, 59, 62, 67, 71, 79, 83, 86, 94, 103, 107 ...
(wurde am 22.7.2024 in OEIS unter A374846 eingetragen)

Beweis mit MathWorld

Formel (24) in Pythagoreische Tripel in MathWorld gibt die Anzahl \(~M_K(n)~\) (dort \(~L(s)~\) genannt) der Pythagoreischen Tripel mit der Kathetenlänge \(~n~\) an, also \(~n=a~\) oder \(~n=b~\).  \(~M_K(n)=1~\) erhält man für Primzahlen \(~n\ge 3~\) und für die Zweifachen aller Primzahlen.

MathWorld folgert aus (24), dass alle Primzahlen und ihre Zweifachen auf eine eindeutige Kathete führen. Das ist natürlich für \(~n=2~\) nicht richtig.

Nach dem Lemma gilt für \(~M_K(n)=1~\),  dass \(~n=a~\) (kurze Kathete)  –  mit der einzigen Ausnahme \(~n=4~\) mit \(~n=b~\) (lange Kathete). Von diesen \(~n~\) müssen nun noch diejenigen ausgewählt werden, die nicht als Hypotenuse auftreten.

Formel (29) in Pythagoreische Tripel in MathWorld gibt die Anzahl \(~M_H(n)~\) (dort \(~H(s)~\) genannt) der Pythagoreischen Tripel mit der Hypotenusenlänge \(~n~\) an, also \(~n=c~\). \(~M_H(n)=0~\) erhält man genau für \(~n~\) ohne Primfaktoren der Form \(~4j+1~\).

Beweis nach A. Tripathi

Dieser Beweis ist noch etwas kompakter. Theorem 8 in  On Pythagorean triples containing a fixed integer  von A. Tripathi gibt die Anzahl \(~P(n)~\) der Pythagoreischen Tripel mit der Seitenlänge \(~n~\) an, also \(~n=a~\) oder \(~n=b~\) oder \(~n=c~\).

Für ungerade \(~n~\) ist \(~P(n)=1~\) genau dann, wenn \(~n^2~\) genau drei Teiler hat und \(~n~\) keinen Primfaktor der Form \(~4j+1~\) hat, d.h. wenn \(~n=4j+3~\) prim ist.

Für gerade \(~n~\) ist \(~P(n)=1~\) genau dann, wenn \(~(n/2)^2~\) genau drei Teiler hat und \(~n~\) keinen Primfaktor der Form \(~4j+1~\) hat, d.h. wenn \(~n~\) das Zweifache einer Primzahl ist, die entweder \(~=2~\) oder von der Form \(~4j+3~\) ist.

Nach dem Lemma ist \(~n~\) mit \(~P(n)=1~\) nie die Hypotenuse, sondern \(~n=a~\) (kurze Kathete)  –  mit der einzigen Ausnahme \(~n=4~\) mit \(~n=b~\) (lange Kathete).

Verfahren von Brahmagupta

Das Verfahren von Brahmagupta (siehe Beschreibung durch A. Brünner) erzeugt alle zu \(~n=a~\) und \(~n=b~\) zugehörigen Pythagoreischen Tripel; ihre Anzahl sei wieder \(~ M_K(n)~\).  Es soll gezeigt werden, dass Brahmagupta zum gleichen Zwischenergebnis für die Katheten wie MathWorld führt.

Zur Bestimmung von \(~M_K(n)~\) zählt Brahmagupta diejenigen Teiler \(~d~\) von \(~n^2~\), für die gilt:

(1)   \(n^2/d-d~\) ist positiv und gerade.

Wir sind an den \(~n~\) mit \(~M_K(n)=1~\) interessiert und betrachten dafür die vier Fälle (2) - (5):

(2)   Ist \(~n=4~\),  so wird (1) nur durch \(~d=2~\) erfüllt, also ist \(~M_K(4)=1~\).

(3)   Ist \(~n=p\ge 3~\) prim, so hat \(~n^2~\) die Teiler \(~d=p^2,~p,~1~\),  aber nur \(~d=1~\) erfüllt (1); also gilt \(~M_K(n)=1~\).

(4)   Ist \(~p\ge 3~\) prim und \(~n=2p~\),  so hat \(~n^2~\) die Teiler \(~d=4p^2,~2p^2,~p^2,~4p,~2p,~p,~4,~2,~1~\),  aber nur \(~d=2~\) erfüllt (1); also gilt \(~M_K(n)=1~\).

(5)   Fällt \(~n~\) in keine der Klassen in (2), (3), (4), so ist \(~n=4h_1~\) mit \(~h_1\gt 1~\) oder \(~n=h_2\cdot p_1\cdot p_2~\) mit \(~p_i\ge 3~\) prim (\(~p_i~\) nicht notwendig verschieden);  \(~h_i \in \text{N}~\).
Diese Aussage folgt aus der Fallunterscheidung "\(~n~\) enthält den Faktor \(~4~\)"  oder  "\(~n~\) enthält nicht den Faktor \(~4~\)".  –  Man kann erreichen, dass die beiden Klassen in "oder" disjunkt werden, wenn man fordert, dass \(~h_2~\) nicht den Faktor \(~4~\) enthält (der Beweis erfordert das aber nicht).
Sei \(~n=4h_1~\) mit \(~h_1\gt 1~\):
—   (1) ist für \(~d=2~\) und \(~d=4~\) erfüllt.
Also ist \(~M_K(n)\gt 1~\).
Sei \(~n=h_2\cdot p_1\cdot p_2~\) mit \(~p_i\ge 3~\) prim:
—   Für ungerade \(~n~\) ist (1) für \(~d=1~\) und \(~d=p_1~\) erfüllt.
—   Für gerade \(~n~\) ist (1) für \(~d=2~\) und \(~d=2p_1~\) erfüllt.
Also ist \(~M_K(n)\gt 1~\).


Zugehörige Folgen in OEIS:

A046079  Number of Pythagorean triangles with leg \(~n~\).
n = 1 ... 24 :  0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 1, 4, 4, 1, 1, 7
Die Positionen der Einsen sind die \(~n~\) mit \(~M_K(n)=1~\) aus dem Beweis. Diese findet man im folgenden Eintrag, wenn dort die \(~2~\) am Anfang fortgelassen wird:

A001751  Primes together with primes multiplied by \(~2~\).
n = 1 ... 24 :  2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 22, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47

A046080  Number of integer-sided right triangles with hypotenuse \(~n~\).
n = 1 ... 24 :  0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0

A046081  Number of integer-sided right triangles with \(~n~\) as a hypotenuse or leg.
n = 1 ... 24 :  0, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 3, 2, 2, 1, 5, 4, 1, 1, 7
Die Positionen der Einsen sind die Zahlen aus dem Satz.

A004144  Nonhypotenuse numbers (indices of positive squares that are not the sums of two distinct nonzero squares).
n = 1 ... 24 :  1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 36
Zahlen ohne Primfaktoren der Form \(~4j+1~\).
Positionen der Nullen in A046080 (s.o.).

A374845  The numbers p or 2p with p prime and p = 3 mod 4, in ascending order.
3, 6, 7, 11, 14, 19, 22, 23, 31, 38, 43, 46, 47, 59, 62, 67, 71, 79, 83, 86, 94, 103, 107, 118 ...
Das sind die \(~n~\),  die in genau einem Pythagoreischen Tripel erscheinen und dort die kleinste Zahl \(~n=a~\) sind (kurze Kathete), also A374846 (s.u.) ohne die \(~4~\).  Diese \(~n~\) entsprechen den Positionen der Einsen in A046081 (s.o.), mit der Ausnahme A046081(4)\(~=1~\).  –  Die Folge wurde am 22.7.2024 in OEIS eingetragen.

A374846  Numbers appearing exactly once in a Pythagorean triple.
3, 4, 6, 7, 11, 14, 19, 22, 23, 31, 38, 43, 46, 47, 59, 62, 67, 71, 79, 83, 86, 94, 103, 107, 118 ...
Das sind die \(~n~\),  die in genau einem Pythagoreischen Tripel erscheinen, also A374845 (s.o.) mit \(~4~\) eingefügt. Diese \(~n~\) entsprechen den Positionen der Einsen in A046081 (s.o.).  –  Die Folge wurde am 22.7.2024 in OEIS eingetragen.


Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π


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Stand 2024-08-10

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