Manfred Börgens Mathematische Probleme # 70 |
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Warum ist 10000010000012264 keine Primzahl ?
Die Antwort lautet in Kurzform : Weil die Anzahl der Nullen zwischen den Einsen ungerade ist. ( 2264 ist dabei die Basis der Zahldarstellung und vollkommen willkürlich gewählt).
Ausführlich lautet die Behauptung :
y1 = 1 , yn+1 = yn + bk·n definiert eine Zahlenfolge yn , die in Basis b geschrieben aus n Einsen besteht, zwischen denen Gruppen aus k - 1 Nullen stehen. (Also ist z.B. für b = 3 und k = 2: y4 = 10101013 .) Dann lässt sich zeigen: Für n > 2 ist yn in allen Basen b keine Primzahl, falls k > 1 gerade ist.
Die Faktorisierung lässt sich konstruktiv angeben. Wie sieht sie in Basis b aus ?
Problem 51 stellte einen Spezialfall dieses Problems dar. Den dortigen Lösungsansatz kann man auch hier verwenden, um yn in geschlossener Form darzustellen. Analog zu Problem 51 kann man eine andere (äquivalente) rekursive Definition angeben :
y1 = 1 , yn+1 = yn·bk + 1
Für ungerade k gilt die Primzahl-Behauptung nicht. Primzahlen unter den yn sind dann zwar sehr dünn gesät, aber Sie können welche finden. Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung ist: yn prim → n prim (warum?).
Lösung
Publiziert 2010-03-01 Stand 2009-07-19
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