Wieviele Spiele ?


Im Monatsproblem Juli/August 2001 wurde die Frage diskutiert, bei welcher Anzahl von Spielen der schwächere Spieler die besten Aussichten auf den Gesamtsieg hat. Das Resultat kann man so zusammenfassen:

Zwei Spieler bestreiten eine Serie von Einzelpartien, die kein Unentschieden zulassen. Die Spielstärke der beiden ist nicht gleich: Der schwächere Spieler gewinnt mit Wahrscheinlichkeit  p < 1/2 , der stärkere mit  q > 1/2 .

Falls eine ungerade Anzahl  N = 2n + 1  von Spielen vereinbart wird, sinkt die Chance für den Gesamtsieg des schwächeren Spielers streng monoton mit wachsendem  n . Er hätte also die besten Aussichten, wenn nur ein einziges Spiel stattfände (d.h.  n = 0 ).

Für dieses Problem gibt es eine interessante Verallgemeinerung, deren Lösung nicht so leicht vorhersehbar ist wie im oben dargestellten Fall. Es soll nämlich jetzt auch eine gerade Anzahl  N = 2n  von Spielen erlaubt sein. Dann können natürlich auch Unentschieden bei der Gesamtwertung vorkommen.

Bei den folgenden Fragen soll der Spieler A jede Einzelpartie mit Wahrscheinlichkeit  p  gewinnen ( 0 < p < 1 ) und sein Gegner B mit Wahrscheinlichkeit  q = 1 - p .

1.
Sei  N  eine beliebige natürliche Zahl. Wie groß ist die Chance von A auf Sieg, Unentschieden und Niederlage in der Gesamtwertung?

2.
Sei  N  eine beliebige natürliche Zahl. Für welches  N  sind die Aussichten von A auf den Gesamtsieg am besten?

Nun kommt die Kernfrage  -  mit einer nur schwer zu erratenden Lösung.
3.
Sei  N  gerade. Für welches  N  sind die Aussichten von A auf den Gesamtsieg am besten?

4.
Diskutieren Sie das Monotonie- und Grenzwertverhalten der Wahrscheinlichkeiten für Sieg, Unentschieden und Niederlage.
Tipp: Wenden Sie einen der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung an.

5.
Eine naheliegende Variante entsteht durch die "Neutralisierung" der Unentschieden. Was ändert sich bei den Fragen 2 - 4, falls Unentschieden nicht gewertet werden?
Das kann man sich so vorstellen: Gewinnt A, erhält er einen Euro; verliert er, zahlt er einen Euro; bei Unentschieden fließt kein Geld. Wie maximiert A seinen Ertrag?

6.
Eine weitere Variante ergibt sich aus der Änderung der Spielregel: Was ändert sich bei den Fragen 2 - 4, falls auch ein Unentschieden schon zum Gesamtsieg von A ausreicht?

Lösung

Publiziert 2005-12-05          Stand 2005-06-01

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Manfred Börgens   |    zur Leitseite