Manfred Börgens
Mathematik auf Briefmarken  # 117
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Marke Suedrichtung mit Uhr

Gabun 1967   Michel 283   Scott C56


Pfadfinder-Know-How: Bestimmung der Himmelsrichtung mit der Uhr

Die Briefmarke wurde anlässlich des 12. Internationalen Pfadfindertreffens ("Jamboree") herausgegeben. Es wurde von den USA vom 31. Juli bis zum 9. August 1967 im Farragut State Park (Bundesstaat Idaho) in den Rocky Mountains ausgerichtet. An diesem Treffen nahmen 12.000 Pfadfinder aus 105 Staaten teil.

Pfadfinder lernen, sich in der Natur zurechtzufinden. Dazu gehört die Kenntnis des Sonnen- und Mondlaufs und des Sternenhimmels. Die Marke zeigt eine Methode zur Bestimmung der Himmelsrichtungen, wenn man keinen Kompass zur Hand hat, aber eine Uhr mit Zifferblatt.

Man mag einwenden, dass heutzutage Smartphones mit Kompass und GPS ausgestattet sind, die die Orientierung in der Natur sehr erleichtern. Aber Kenntnisse der früher verwendeten Methoden haben auch noch heute ihren Wert. Sie vermitteln jungen Menschen Einsichten und Neugier über Natur- und Himmelsphänomene. Über die Frage, wie Beobachtungen in unserer Umwelt zusammenhängen und begründet sind, stellt sich eine Vertrautheit mit naturwissenschaftlichen Grundlagen ein. Dies kann ein guter Weg zur Feststellung sein, dass Mathematik, Physik und Astronomie Spaß machen können. (Dazu eine kleine Nebenbemerkung: Ein Kernelement des Curriculums an Waldorfschulen ist das Feldmesspraktikum. Bei einer mehrtägigen Exkursion erlernen die Schülerinnen und Schüler Grundlagen der Geodäsie und der Kartografie durch eigene Arbeit in der Natur. Dafür erarbeiten sie sich die benötigten Methoden aus der Mathematik und der Geografie in ausgesprochen anwendungsorientierter Weise. Dies erscheint mir eine didaktisch vorbildliche Kompetenzvermittlung zu sein  –  angesichts der Beobachtung, dass Mathematik oft ein "Hassfach" ist.)


Die Pfadfinder-Methode zur Ermittlung der Südrichtung

Zurück zur Briefmarke: Der obere, helle Teil steht für die Orientierung bei Tag, der untere, blaue Teil für die Orientierung bei Nacht. Auf die dargestellte Bestimmung der Südrichtung mittels Uhr und Sonne wird weiter unten ausführlich eingegangen. Bei Nacht und bei klarem Sternenhimmel kann man die Nordrichtung leicht mit Hilfe des Polarsterns finden. Er ist auf der Marke als äußerster Stern des Kleinen Wagens abgebildet. Dieses Sternbild ist in weiten Teilen Mitteleuropas wegen der Luft- und Lichtverschmutzung fast unsichtbar (mit Ausnahme des sehr hellen Polarsterns), aber in den Rocky Mountains werden die Pfadfinder 1967 den Kleinen Wagen gesehen haben.

Die auf der Briefmarke gezeigte Methode ist auch in Bild 1 schematisch dargestellt. Wie wendet man diese Methode an? Die Marke zeigt  14:17 Uhr ,  Bild 1 zeigt  16:45 Uhr .  In beiden Fällen wird der Stundenzeiger in Richtung der Sonne gedreht  –  genauer: es wird ein Lot von der Sonne auf den Horizont gefällt und der Stundenzeiger auf den Fußpunkt gerichtet. Süden ist die Himmelsrichtung, die den Winkel zwischen dem Stundenzeiger und  12:00 Uhr  halbiert.


Suedrichtung mit Uhr
Bild 1   Bestimmung der Südrichtung mittels Uhr und Sonne      Copyright

Das ist also die Pfadfinder-Methode zur Findung der Himmelsrichtungen. Natürlich fragt man sich sofort: Was steckt dahinter, warum ist das so? Und ist die Methode korrekt?

Wir wollen zunächst darlegen, welche einfache und einleuchtende Idee uns zur Pfadfinder-Methode führt. Der Stundenzeiger beschreibt zwei volle Umdrehungen pro Tag; seine gedachte Verlängerung läuft also zweimal pro Tag gleichmäßig den Horizont entlang, wenn man die Uhr waagerecht hält. Auch die Sonne beschreibt (in guter Näherung) einen Kreis; allerdings läuft sie nicht am Horizont entlang, sondern tags oberhalb, nachts unterhalb des Horizonts, aber diese Abweichung soll hier erst mal nicht beachtet werden. Der Sonnenkreis wird nur einmal pro Tag durchlaufen, dieser Umlauf ist also nur halb so schnell wie der Umlauf des Stundenzeigers der Uhr. Und das ist schon die Lösung. Um  12:00 Uhr  steht die Sonne im Süden, da ist der Winkel zum Stundenzeiger    und braucht nicht halbiert zu werden. Zum Nachmittag hin läuft der Stundenzeiger doppelt so schnell wie die Sonne, deshalb muss der Winkel zwischen dem Zeiger und  12:00 Uhr  halbiert werden, um die Südrichtung zu erhalten. Vormittags funktioniert die Methode aus Symmetriegründen ebenso. Am besten sieht man das in Bild 2, wo die Südrichtung festgehalten wird.

Vielleicht wird beim Umlauf der Sonne um die Erde die Bemerkung vermisst, dass dies ein "scheinbarer" Umlauf ist. Im heliozentrischen System geht man davon aus, dass unsere Wahrnehmung dieses Umlaufs auf der Drehung der Erde und nicht auf einer täglichen Kreisbewegung der Sonne beruht. Allerdings sind beide Betrachtungsweisen geometrisch äquivalent. Wir betrachten hier lediglich Relativbewegungen von Erde und Sonne, die keine Unterscheidung in "wahr" und "falsch" zwischen helio- und geozentrischem System erlauben. In vielen Fällen erweist sich der geozentrische Standpunkt als vorteilhaft bei der Beschreibung der Himmelsphänomene.

Sueden oben

Bild 2   Sonnenstand und Südrichtung um  12:00 Uhr ,  15:00 Uhr  und  09:00 Uhr


Zeitangaben

Nun ist geklärt, wie die Pfadfinder-Methode angewendet wird. Aber Vorsicht: Ganz so einfach ist es dann doch nicht. Wir wollen zunächst die wichtigsten Vorkehrungen auflisten, die zu treffen sind, damit die Methode überhaupt einen Sinn ergibt.
Schwäche der Pfadfinder-Methode: Winkelverzerrung

Bis hierhin haben wir nur die notwendigen Bedingungen genannt, die man bei der Anwendung der Pfadfinder-Methode beachten muss. Hat man damit auch die hinreichende Gewissheit, die Südrichtung mit einiger Genauigkeit ermitteln zu können? Das ist leider nicht der Fall. Warum kann diese Methode nicht perfekt sein? Wenn die Sonne ungefähr parallel zum Horizont läuft, liegt ihre Bahnebene ungefähr parallel zur Uhr, und dann greift die oben beschriebene Idee mit der doppelten Geschwindigkeit des Uhrzeigers gegenüber dem Sonnenlauf  –  aber die Sonne läuft nur in der Polarregion näherungsweise parallel zum Horizont; dort kann man eine gute Genauigkeit der Pfadfinder-Methode erwarten. In den mittleren Breiten (insbesondere in Europa, Nordamerika) gilt das nicht.

Nicht nur die Breite spielt für die Genauigkeit der Pfadfinder-Methode eine Rolle, sondern auch die Jahreszeit. Nach dieser Methode müsste die Sonne um  06:00 Uhr  im Osten und um  18:00 Uhr  im Westen stehen. Das ist aber lediglich zu Frühlings- und Herbstanfang der Fall; man kann sich leicht in der Natur davon überzeugen, dass etwa im Hochsommer die Abweichungen erheblich sind.

Wir wollen nun angeben, wie sich die tatsächliche Südrichtung von der Richtung unterscheidet, die durch die Pfadfinder-Methode angegeben wird.

Winkelberechnung für die Pfadfinder-Methode

τ   Uhrzeit in Grad:  τ =  = 00:00 Uhr, τ = 90° = 06:00 Uhr usw. (wahre Sonnenzeit)
      Dies ist nicht der Winkel, den die Uhr anzeigt, sondern nur die Hälfte davon!

τo   Uhrzeit auf Zifferblatt:  τo = τ/15°

A   Azimut (Sonnenwinkel am Horizont):  A =  = Nord, A = 90° = Ost usw.

Anhand der mittleren und der rechten Grafik in Bild 2 erkennt man, dass der Winkel zwischen der (vom Pfadfinder vermuteten) Nordrichtung und dem Azimut pro Stunde um  15°  wächst. (Wenn beispielweise in der rechten Grafik in Bild 2  10:00 Uhr  statt  09:00 Uhr  betrachtet wird, so verringert sich der Winkel zwischen dem Stundenzeiger und der  12  um  30°,  somit der Winkel zwischen dem Stundenzeiger und der (vermuteten) Südrichtung um  15°.)
Also erhält der Pfadfinder eine sehr einfache Formel für die Himmelsrichtung der Sonne:

(1)   AScout = τo·15° = τ


Winkelberechnung für den tatsächlichen Sonnenstand

Der wahre Azimut hängt von drei Größen ab: Uhrzeit, Datum und Breitengrad. (Die Pfadfinder-Methode benutzt nur die Uhrzeit.)

Statt des Datums wird üblicherweise die Deklination der Sonne genommen. Das ist der Breitengrad, über dem die Sonne mittags senkrecht steht. Die Übersetzung von Datum in Deklination und umgekehrt erfolgt mit Hilfe einer Deklinationstabelle.

τ   Uhrzeit in Grad:  τ =  = 00:00 Uhr, τ = 90° = 06:00 Uhr usw. (wahre Sonnenzeit)

δ   Deklination

φ   Breitengrad des Beobachters

In der Literatur findet man verschiedene (aber äquivalente) Formeln für den Azimut. Dabei werden in der Regel vereinfachende Annahmen gemacht (Kugelform der Erde, keine optische Verzerrung durch die Atmosphäre), die hier nur marginale Abweichungen erzeugen. Wir wollen uns auf die Formeln stützen, die im Blog # 3, Formel (14) auf dieser Website hergeleitet wurden. Wegen der oben beschriebenen Symmetrie vormittags/nachmittags genügt die Berechnung von  A  für die Zeit vor  12:00 Uhr :

(2)   Awahr = arccot(cot τ sin φ + csc τ tan δ cos φ)

Hinweis: Bei der Berechnung von  A  mit Mathematica muss berücksichtigt werden, dass dort der  arccot  die Umkehrfunktion von  cot:[-π/2,π/2]\{0}  R  ist, entgegen der üblicheren Umkehrfunktion von  cot:(0,π)  R ,  die auch in Blog # 3 verwendet wird. Dies lässt sich heilen, indem man die Mathematica-Funktion  acot[x_]:= ArcCot[x] + If[x<0,π,0]  definiert.

Ferner gilt sowohl für  Awahr  als auch für  AScout : τ = 0° ⇔ A =   und  τ = 180° ⇔ A = 180°.

Was folgt aus (1) und (2) für den Unterschied in der Südrichtung zum Zeitpunkt  τ ?
SüdScout = 180° - τ = 180° - AScout
Südwahr =
 180° - Awahr

(3)   Südwahr - SüdScout = AScout - Awahr

Wir werden sehen, dass diese Differenz zwischen wahrer und vermuteter Südrichtung erheblich sein kann.

Sonnenaufgang

Man kann die Pfadfinder-Methode nur anwenden, wenn die Sonne scheint. In den folgenden Grafiken wird die Zeit zwischen Sonnenaufgang und Mittag angezeigt. Die Herleitung der Aufgangszeit findet man in Blog # 3, Formel (11). Wir geben sie als Uhrzeit (wie  τo )  an:

τaufg = arccos(tan δ tan φ)/15°



Ein Beispiel für die Ungenauigkeit der Pfadfinder-Methode sieht man in Bild 3. Wir kommen zurück auf das Pfadfinder-Lager, das im Taunus auf  50,1° nördlicher Breite und  östlicher Länge liegen möge. Die Länge ist hier unerheblich, da die wahre Sonnenzeit zugrundegelegt wird. Das Lager findet in den Sommerferien statt; wir nehmen als Deklination  δ =  an (das entspricht nach der Deklinationstabelle dem  31. August  -  oder dem  13. April  in den Osterferien).

In Bild 3 zeigt die waagerechte Achse die Uhrzeit  τo  und die senkrechte Achse die Himmelsrichtung  A  an. Die rote Kurve zeigt  AScout  und die blaue  Awahr .

Taunus im August

Bild 3   In welcher Himmelsrichtung  A  steht die Sonne zwischen ihrem Aufgang und dem Mittag?
              Links: Untere Kurve: Wahre Richtung  Awahr ;  obere Kurve: Richtung nach Pfadfinder-Methode  AScout
              Rechts: Symmetrie bzgl. 12:00 Uhr


Bild 3 gibt einen ersten Eindruck davon, wie groß der Messfehler in den mittleren Breiten werden kann. Um  10:00 Uhr (und entsprechend um  14:00 Uhr) verortet die Pfadfinder-Methode die Südrichtung mit einem Fehler von  11,62° (im Kreis rechts im linken Bild sieht man, wie groß dieser Winkel ist); um  09:00 Uhr (und um  15:00 Uhr) wären es sogar  13°,  das ist die maximale Abweichung. Nach (3) liegt die von den Pfadfindern vermutete Südrichtung in Wirklichkeit vormittags weiter westlich und nachmittags weiter östlich.

Wir werden sehen, dass in südlicheren Breiten und um den Sommeranfang herum die Messfehler noch erheblich größer ausfallen. Aber auch eine Abweichung wie in Bild 3 ist nicht vernachlässigbar, wenn es z.B. um eine Schatzsuche geht.

Bild 4 zeigt systematische Effekte von Breitengrad und Jahreszeit auf die Genauigkeit der Pfadfinder-Methode.

In den Zeilen stehen drei verschiedene nördliche Breitengrade: In den Spalten stehen vier verschiedene Datumsangaben mit den zugehörigen Deklinationen:
3 Breiten, 3 Deklinationen

Bild 4   In welcher Himmelsrichtung steht die Sonne zwischen ihrem Aufgang und dem Mittag?
              Waagerechte Achse: Uhrzeit  τo
              Senkrechte Achse: Himmelsrichtung der Sonne  A  (in Grad), von Norden im Uhrzeigersinn gemessen
              SA = Sonnenaufgang
              Untere Kurve: Wahre Richtung; obere Kurve: Richtung nach Pfadfinder-Methode


Bild 4 zeigt die Effekte von Breite und Deklination gut auf. Mit wachsender Breite wird die Genauigkeit der Pfadfinder-Methode besser. Das wurde oben schon erklärt: In den hohen Breiten läuft die Sonne in einer flacheren Bahn über dem Horizont entlang und verhält sich ähnlich zu einer waagerecht liegenden Uhr. Außerdem ist die Genauigkeit zu Frühlings- und Herbstbeginn, also bei kleiner Deklination, besser als im Hochsommer bei großer Deklination. Das liegt daran, dass nur zu den Tag- und Nachtgleichen die Sonne tagsüber einen Halbkreis (also ihre halbe Bahn) beschreibt und deshalb um  06:00 Uhr  im Osten und um  18:00 Uhr  im Westen steht.

In den Subtropen nützt die Pfadfinder-Methode nur wenig. Wegen des Datums gilt das auch für das Jamboree auf der Briefmarke (orangener Kasten in Bild 4). Dadurch wird leider das schöne Design der Marke in seinem didaktischen Gehalt etwas geschmälert.

In der gesamten Nordpolarregion ist die Pfadfinder-Methode sehr gut anwendbar, z.B. in Alaska und Skandinavien. Natürlich geht das nicht für  δ  φ - 90° (Polarnacht). Für  δ > 90°- φ  gibt es keinen Sonnenaufgang, weil die Sonne den ganzen Tag scheint, was aber der Methode keinen Abbruch tut.

Die Grafiken in Bild 4 zeigen auch vertraute Regelmäßigkeiten für die Sonnenaufgangszeiten: Je größer die Deklination, desto früher geht die Sonne an einem Ort auf. Im Winterhalbjahr (Herbstanfang bis Frühlingsanfang, linke Spalte in Bild 4) gilt: Je weiter nördlich man sich befindet, desto später geht die Sonne auf. Im Sommerhalbjahr ist es umgekehrt.


Tropen und Südhalbkugel

Was schon für die Subtropen gesagt wurde, gilt in noch höherem Maße für die Tropen: Die Pfadfinder-Methode ist dort unbrauchbar. Durch den steilen Winkel, mit dem die Sonne auf- und untergeht, ist die Verzerrung ihrer Bahnwinkel gegenüber den Himmelsrichtungen am Horizont zu groß. Noch wichtiger ist, dass in den Tropen die Sonne zeitweise mittags im Süden und zu anderen Zeiten im Norden steht. Das gilt auch für Gabun, das vom Äquator gequert wird. So verdienstvoll die oben gezeigte Briefmarke für die mathematische Philatelie und die geomathematische Didaktik ist  –  im Land der Ausgabe dieser Marke kann die gezeigte Methode nicht angewendet werden.

Zur Südhalbkugel südlich des südlichen Wendekreises: Die erste Idee könnte sein, dass man alles, was im Norden gilt, mit einer Symmetrieüberlegung auf den Süden anwendet. Im Prinzip geht das auch, aber dann müsste man eine Uhr haben, die im Gegenuhrzeigersinn umläuft. Denn für  φ < δ  läuft die Sonne vom Osten über den Norden nach Westen, also von rechts nach links. Aber es gibt einen Trick, den die Scouts in Südafrika ins Netz gestellt haben: Man dreht die  12  auf der Uhr in Richtung der Sonne und halbiert dann den Winkel zum Stundenzeiger. Die Symmetrie zwischen den nördlichen und den südlichen Breiten kann man sich also so merken: Süd- und Nordrichtung sind vertauscht, und Stundenzeiger und die  12  auf der Uhr sind vertauscht.



Pfadfinder-Links:   deutsch    englisch (Südafrika)


Kategorie: Geomathematik


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Publiziert 2021-10-25          Stand 2020-12-07


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