Manfred Boergens - Briefmarke 117

Manfred Börgens
Mathematik auf Briefmarken # 117

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Gabun 1967 Michel 283 Scott C56

Pfadfinder-Know-How: Bestimmung der Himmelsrichtung mit der Uhr

Die Briefmarke wurde anlässlich des 12. Internationalen Pfadfindertreffens ("Jamboree") herausgegeben. Es wurde von den USA vom 31. Juli bis zum 9. August 1967 im Farragut State Park (Bundesstaat Idaho) in den Rocky Mountains ausgerichtet. An diesem Treffen nahmen 12.000 Pfadfinder aus 105 Staaten teil.

Pfadfinder lernen, sich in der Natur zurechtzufinden. Dazu gehört die Kenntnis des Sonnen- und Mondlaufs und des Sternenhimmels. Die Marke zeigt eine Methode zur Bestimmung der Himmelsrichtungen, wenn man keinen Kompass zur Hand hat, aber eine Uhr mit Zifferblatt.

Man mag einwenden, dass heutzutage Smartphones mit Kompass und GPS ausgestattet sind, die die Orientierung in der Natur sehr erleichtern. Aber Kenntnisse der früher verwendeten Methoden haben auch noch heute ihren Wert. Sie vermitteln jungen Menschen Einsichten und Neugier über Natur- und Himmelsphänomene. Über die Frage, wie Beobachtungen in unserer Umwelt zusammenhängen und begründet sind, stellt sich eine Vertrautheit mit naturwissenschaftlichen Grundlagen ein. Dies kann ein guter Weg zur Feststellung sein, dass Mathematik, Physik und Astronomie Spaß machen können. (Dazu eine kleine Nebenbemerkung: Ein Kernelement des Curriculums an Waldorfschulen ist das Feldmesspraktikum. Bei einer mehrtägigen Exkursion erlernen die Schülerinnen und Schüler Grundlagen der Geodäsie und der Kartografie durch eigene Arbeit in der Natur. Dafür erarbeiten sie sich die benötigten Methoden aus der Mathematik und der Geografie in ausgesprochen anwendungsorientierter Weise. Dies erscheint mir eine didaktisch vorbildliche Kompetenzvermittlung zu sein – angesichts der Beobachtung, dass Mathematik oft ein "Hassfach" ist.)

Die Pfadfinder-Methode zur Ermittlung der Südrichtung

Zurück zur Briefmarke: Der obere, helle Teil steht für die Orientierung bei Tag, der untere, blaue Teil für die Orientierung bei Nacht. Auf die dargestellte Bestimmung der Südrichtung mittels Uhr und Sonne wird weiter unten ausführlich eingegangen. Bei Nacht und bei klarem Sternenhimmel kann man die Nordrichtung leicht mit Hilfe des Polarsterns finden. Er ist auf der Marke als äußerster Stern des Kleinen Wagens abgebildet. Dieses Sternbild ist in weiten Teilen Mitteleuropas wegen der Luft- und Lichtverschmutzung fast unsichtbar (mit Ausnahme des sehr hellen Polarsterns), aber in den Rocky Mountains werden die Pfadfinder 1967 den Kleinen Wagen gesehen haben.

Die auf der Briefmarke gezeigte Methode ist auch in Bild 1 schematisch dargestellt. Wie wendet man diese Methode an? Die Marke zeigt 14:17 Uhr , Bild 1 zeigt 16:45 Uhr . In beiden Fällen wird der Stundenzeiger in Richtung der Sonne gedreht – genauer: es wird ein Lot von der Sonne auf den Horizont gefällt und der Stundenzeiger auf den Fußpunkt gerichtet. Süden ist die Himmelsrichtung, die den Winkel zwischen dem Stundenzeiger und 12:00 Uhr halbiert.

Suedrichtung mit Uhr
Bild 1 Bestimmung der Südrichtung mittels Uhr und Sonne Copyright

Das ist also die Pfadfinder-Methode zur Findung der Himmelsrichtungen. Natürlich fragt man sich sofort: Was steckt dahinter, warum ist das so? Und ist die Methode korrekt?

Wir wollen zunächst darlegen, welche einfache und einleuchtende Idee uns zur Pfadfinder-Methode führt. Der Stundenzeiger beschreibt zwei volle Umdrehungen pro Tag; seine gedachte Verlängerung läuft also zweimal pro Tag gleichmäßig den Horizont entlang, wenn man die Uhr waagerecht hält. Auch die Sonne beschreibt (in guter Näherung) einen Kreis; allerdings läuft sie nicht am Horizont entlang, sondern tags oberhalb, nachts unterhalb des Horizonts, aber diese Abweichung soll hier erst mal nicht beachtet werden. Der Sonnenkreis wird nur einmal pro Tag durchlaufen, dieser Umlauf ist also nur halb so schnell wie der Umlauf des Stundenzeigers der Uhr. Und das ist schon die Lösung. Um 12:00 Uhr steht die Sonne im Süden, da ist der Winkel zum Stundenzeiger 0° und braucht nicht halbiert zu werden. Zum Nachmittag hin läuft der Stundenzeiger doppelt so schnell wie die Sonne, deshalb muss der Winkel zwischen dem Zeiger und 12:00 Uhr halbiert werden, um die Südrichtung zu erhalten. Vormittags funktioniert die Methode aus Symmetriegründen ebenso. Am besten sieht man das in Bild 2, wo die Südrichtung festgehalten wird.

Vielleicht wird beim Umlauf der Sonne um die Erde die Bemerkung vermisst, dass dies ein "scheinbarer" Umlauf ist. Im heliozentrischen System geht man davon aus, dass unsere Wahrnehmung dieses Umlaufs auf der Drehung der Erde und nicht auf einer täglichen Kreisbewegung der Sonne beruht. Allerdings sind beide Betrachtungsweisen geometrisch äquivalent. Wir betrachten hier lediglich Relativbewegungen von Erde und Sonne, die keine Unterscheidung in "wahr" und "falsch" zwischen helio- und geozentrischem System erlauben. In vielen Fällen erweist sich der geozentrische Standpunkt als vorteilhaft bei der Beschreibung der Himmelsphänomene.

Sueden oben

Bild 2 Sonnenstand und Südrichtung um 12:00 Uhr , 15:00 Uhr und 09:00 Uhr

Zeitangaben

Nun ist geklärt, wie die Pfadfinder-Methode angewendet wird. Aber Vorsicht: Ganz so einfach ist es dann doch nicht. Wir wollen zunächst die wichtigsten Vorkehrungen auflisten, die zu treffen sind, damit die Methode überhaupt einen Sinn ergibt.

Breitengrad Die Pfadfinder-Methode geht offenbar davon aus, dass die Sonne mittags im Süden steht. Das ist (ganzjährig) nur richtig nördlich des nördlichen Wendekreises (23,4° nördliche Breite). Wir wollen also vorläufig davon ausgehen, dass der Beobachter sich dort befindet. Über andere Regionen der Erde wird später noch zu sprechen sein.

Sonnenzeit   Da sich die Pfadfinder-Methode am Sonnenstand orientiert, muss die Uhr so eingestellt sein, dass sie die wahre Sonnenzeit anzeigt. Die Sonne sollte also um 12:00 Uhr im Süden (und somit an ihrem höchsten Punkt) stehen. Die wichtigste Voraussetzung dafür ist die Kenntnis des Längengrads, auf dem man sich befindet, sowie des Längengrads, für den die Uhr eingestellt ist. Der Abstand benachbarter Längengrade entspricht 4' (4 Minuten) Zeitdifferenz.

Ein Beispiel: Die Pfadfinder sind in den Sommerferien in einem Lager im Taunus auf 8° östlicher Länge. Ihre Uhren zeigen (wegen der gesetzlichen Sommerzeit) die Zonenzeit UTC+2 an, das ist die mittlere Sonnenzeit auf 30° östlicher Länge. Verglichen mit der Sonnenzeit auf 8° entspricht das einer Differenz von 88'. Das bedeutet, dass die Uhren der Pfadfinder im Mittel 1h 28' gegenüber der Sonne vorgehen; die Sonne steht also um 13:28 Uhr im Süden und nicht um 12:00 Uhr (umgekehrt gilt, dass ältere Sonnenuhren gegenüber der gesetzlichen Zeit um 1h 28' nachgehen; früher zeigten Sonnenuhren immer die lokale Zeit an). Also klappt die Pfadfinder-Methode nur mit einer entsprechenden Umstellung der Uhr auf die mittlere Sonnenzeit am jeweiligen Aufenthaltsort.

Wieso ist im vorigen Abschnitt von der mittleren Sonnenzeit die Rede, aber davor von der wahren Sonnenzeit ? Die Umstellung der Uhr gemäß Zonenzeit und Längengrad reicht immer noch nicht aus, um die korrekte Sonnenzeit anzuzeigen – d.h. die Sonne müsste nach der Umstellung um 12:00 Uhr im Süden stehen, aber dies gilt nur im Jahresmittel. Die Tage sind nämlich nicht gleich lang (24 h), sondern unterliegen im Jahresverlauf Schwankungen (dies liegt an der Neigung der Erdachse und an der elliptischen Form der Erdbahn). Die Aufsummierung dieser Schwankungen führt auf die Zeitgleichung. Die wahre Sonnenzeit ergibt sich aus der Addition der mittleren Sonnenzeit und der Zeitgleichung, sie hängt also sowohl vom Ort des Betrachters als auch vom Datum ab. – Für die Pfadfinder-Methode bedeutet das, dass die Uhr zusätzlich um einige Minuten vor- oder zurückgestellt werden muss, je nachdem, ob die Zeitgleichung positive oder negative Werte anzeigt (siehe Grafik).
Diese Korrektur kann wegen Geringfügigkeit unterlassen werden, wenn man beispielsweise in den Oster- oder Sommerferien unterwegs ist; relevant sind dagegen Mitte Januar bis Mitte März sowie die Monate Oktober und November.

In unserem Beispiel auf 8° östlicher Länge müsste man am 1. März (Zeitgleichung -12') die folgende Rechnung anstellen:
     Mittlere Sonnenzeit geht 7×4' = 28' hinter der Uhr nach. Man beachte: Am 1.3. greift die Umstellung auf die Sommerzeit noch nicht, es gilt also die Zeitzone UTC+1.
     Wahre Sonnenzeit geht wegen der Zeitgleichung 12' hinter der mittleren Sonnenzeit nach.
     Somit ist die Uhr um 40' zurückzustellen, um die wahre Sonnenzeit anzuzeigen.

Symmetrie vormittags/nachmittags Der Stand der Sonne ist symmetrisch zu 12:00 Uhr mittags, so dass im Bild auf der Briefmarke die Sonne vormittags links vom Südpunkt stehen würde. Wegen dieser Symmetrie funktioniert die Pfadfinder-Methode vormittags auf die gleiche Weise wie nachmittags (siehe rechte Grafik in Bild 2).

Es gibt noch eine weitere Symmetrie. Bild 2 zeigt, dass zwischen 06:00 Uhr und 18:00 Uhr der Südpunkt durch die Winkelhalbierung gefunden wird. Damit ist der kleinere Winkel zwischen dem Stundenzeiger und der 12 auf der Uhr gemeint. Halbiert man den größeren Winkel, erhält man den Nordpunkt (siehe Bild 1). Die Symmetrie liegt nun in der Umkehrung von Süd- und Nordrichtung, wenn es früher als 06:00 Uhr oder später als 18:00 Uhr ist. Das sieht man schön in Bild 1, wenn man sich vorstellt, dass es nicht 16:45 Uhr (mit der Sonne ungefähr im Westen), sondern 04:45 Uhr (mit der Sonne ungefähr im Osten) ist; in der Grafik wäre dann lediglich Süd und Nord zu vertauschen.

Schwäche der Pfadfinder-Methode: Winkelverzerrung

Bis hierhin haben wir nur die notwendigen Bedingungen genannt, die man bei der Anwendung der Pfadfinder-Methode beachten muss. Hat man damit auch die hinreichende Gewissheit, die Südrichtung mit einiger Genauigkeit ermitteln zu können? Das ist leider nicht der Fall. Warum kann diese Methode nicht perfekt sein? Wenn die Sonne ungefähr parallel zum Horizont läuft, liegt ihre Bahnebene ungefähr parallel zur Uhr, und dann greift die oben beschriebene Idee mit der doppelten Geschwindigkeit des Uhrzeigers gegenüber dem Sonnenlauf – aber die Sonne läuft nur in der Polarregion näherungsweise parallel zum Horizont; dort kann man eine gute Genauigkeit der Pfadfinder-Methode erwarten. In den mittleren Breiten (insbesondere in Europa, Nordamerika) gilt das nicht.

Nicht nur die Breite spielt für die Genauigkeit der Pfadfinder-Methode eine Rolle, sondern auch die Jahreszeit. Nach dieser Methode müsste die Sonne um 06:00 Uhr im Osten und um 18:00 Uhr im Westen stehen. Das ist aber lediglich zu Frühlings- und Herbstanfang der Fall; man kann sich leicht in der Natur davon überzeugen, dass etwa im Hochsommer die Abweichungen erheblich sind.

Wir wollen nun angeben, wie sich die tatsächliche Südrichtung von der Richtung unterscheidet, die durch die Pfadfinder-Methode angegeben wird.

Winkelberechnung für die Pfadfinder-Methode

τ   Uhrzeit in Grad: τ = 0° = 00:00 Uhr, τ = 90° = 06:00 Uhr usw. (wahre Sonnenzeit)
      Dies ist nicht der Winkel, den die Uhr anzeigt, sondern nur die Hälfte davon!

τ_o   Uhrzeit auf Zifferblatt: τ_o = τ/15°

A   Azimut (Sonnenwinkel am Horizont): A = 0° = Nord, A = 90° = Ost usw.

Anhand der mittleren und der rechten Grafik in Bild 2 erkennt man, dass der Winkel zwischen der (vom Pfadfinder vermuteten) Nordrichtung und dem Azimut pro Stunde um 15° wächst. (Wenn beispielweise in der rechten Grafik in Bild 2 10:00 Uhr statt 09:00 Uhr betrachtet wird, so verringert sich der Winkel zwischen dem Stundenzeiger und der 12 um 30°, somit der Winkel zwischen dem Stundenzeiger und der (vermuteten) Südrichtung um 15°.)
Also erhält der Pfadfinder eine sehr einfache Formel für die Himmelsrichtung der Sonne:

(1)   A_Scout = τ_o·15° = τ

Winkelberechnung für den tatsächlichen Sonnenstand

Der wahre Azimut hängt von drei Größen ab: Uhrzeit, Datum und Breitengrad. (Die Pfadfinder-Methode benutzt nur die Uhrzeit.)

Statt des Datums wird üblicherweise die Deklination der Sonne genommen. Das ist der Breitengrad, über dem die Sonne mittags senkrecht steht. Die Übersetzung von Datum in Deklination und umgekehrt erfolgt mit Hilfe einer Deklinationstabelle.

τ   Uhrzeit in Grad: τ = 0° = 00:00 Uhr, τ = 90° = 06:00 Uhr usw. (wahre Sonnenzeit)

δ   Deklination

φ   Breitengrad des Beobachters

In der Literatur findet man verschiedene (aber äquivalente) Formeln für den Azimut. Dabei werden in der Regel vereinfachende Annahmen gemacht (Kugelform der Erde, keine optische Verzerrung durch die Atmosphäre), die hier nur marginale Abweichungen erzeugen. Wir wollen uns auf die Formeln stützen, die im Blog # 3, Formel (14) auf dieser Website hergeleitet wurden. Wegen der oben beschriebenen Symmetrie vormittags/nachmittags genügt die Berechnung von A für die Zeit vor 12:00 Uhr :

(2)   A_wahr = arccot(cot τ sin φ + csc τ tan δ cos φ)

Hinweis: Bei der Berechnung von A mit Mathematica muss berücksichtigt werden, dass dort der arccot die Umkehrfunktion von cot:[-π/2,π/2]\{0} → R ist, entgegen der üblicheren Umkehrfunktion von cot:(0,π) → R , die auch in Blog # 3 verwendet wird. Dies lässt sich heilen, indem man die Mathematica-Funktion acot[x_]:= ArcCot[x] + If[x<0,π,0] definiert.

Ferner gilt sowohl für A_wahr als auch für A_Scout : τ = 0° ⇔ A = 0° und τ = 180° ⇔ A = 180°.

Was folgt aus (1) und (2) für den Unterschied in der Südrichtung zum Zeitpunkt τ ?
Süd_Scout = 180° - τ = 180° - A_Scout Süd_wahr = 180° - A_wahr

(3)   Süd_wahr - Süd_Scout = A_Scout - A_wahr

Wir werden sehen, dass diese Differenz zwischen wahrer und vermuteter Südrichtung erheblich sein kann.

Sonnenaufgang

Man kann die Pfadfinder-Methode nur anwenden, wenn die Sonne scheint. In den folgenden Grafiken wird die Zeit zwischen Sonnenaufgang und Mittag angezeigt. Die Herleitung der Aufgangszeit findet man in Blog # 3, Formel (11). Wir geben sie als Uhrzeit (wie τ_o ) an:

τ_aufg = arccos(tan δ tan φ)/15°

Ein Beispiel für die Ungenauigkeit der Pfadfinder-Methode sieht man in Bild 3. Wir kommen zurück auf das Pfadfinder-Lager, das im Taunus auf 50,1° nördlicher Breite und 8° östlicher Länge liegen möge. Die Länge ist hier unerheblich, da die wahre Sonnenzeit zugrundegelegt wird. Das Lager findet in den Sommerferien statt; wir nehmen als Deklination δ = 9° an (das entspricht nach der Deklinationstabelle dem 31. August - oder dem 13. April in den Osterferien).

In Bild 3 zeigt die waagerechte Achse die Uhrzeit τ_o und die senkrechte Achse die Himmelsrichtung A an. Die rote Kurve zeigt A_Scout und die blaue A_wahr .

Taunus im August

Bild 3   In welcher Himmelsrichtung A steht die Sonne zwischen ihrem Aufgang und dem Mittag?
              Links: Untere Kurve: Wahre Richtung A_wahr ; obere Kurve: Richtung nach Pfadfinder-Methode A_Scout
              Rechts: Symmetrie bzgl. 12:00 Uhr

Bild 3 gibt einen ersten Eindruck davon, wie groß der Messfehler in den mittleren Breiten werden kann. Um 10:00 Uhr (und entsprechend um 14:00 Uhr) verortet die Pfadfinder-Methode die Südrichtung mit einem Fehler von 11,62° (im Kreis rechts im linken Bild sieht man, wie groß dieser Winkel ist); um 09:00 Uhr (und um 15:00 Uhr) wären es sogar 13°, das ist die maximale Abweichung. Nach (3) liegt die von den Pfadfindern vermutete Südrichtung in Wirklichkeit vormittags weiter westlich und nachmittags weiter östlich.

Wir werden sehen, dass in südlicheren Breiten und um den Sommeranfang herum die Messfehler noch erheblich größer ausfallen. Aber auch eine Abweichung wie in Bild 3 ist nicht vernachlässigbar, wenn es z.B. um eine Schatzsuche geht.

Bild 4 zeigt systematische Effekte von Breitengrad und Jahreszeit auf die Genauigkeit der Pfadfinder-Methode.

In den Zeilen stehen drei verschiedene nördliche Breitengrade:

57° Auf dieser Breite wird man in Nordamerika nur selten Pfadfinder antreffen, am ehesten noch in Südalaska. In Europa führt dieser Breitengrad durch Norddänemark und Südschweden, und in Schottland durch Braemar und Mallaig.

47,95° Dieser Breitengrad stellt den Bezug zu der vorgestellten Briefmarke her. Auf dieser Breite liegt der Farragut State Park. In Europa quert der Breitengrad u.a. Mittelfrankreich und Süddeutschland.

27° Dies ist ein subtropischer Breitengrad, der u.a. durch Florida, Ägypten und Nordindien verläuft.

In den Spalten stehen vier verschiedene Datumsangaben mit den zugehörigen Deklinationen:

15. März Dieses Datum steht für die Tage um den Frühlings- oder Herbstanfang herum.

25. April Das könnte ein Tag in den Osterferien sein.

30. Juni Dieses Datum steht für die Tage um den Sommeranfang herum.

5. August (nur für Farragut State Park) An diesem Tag war das Jamboree auf der Briefmarke in vollem Gange.

Bild 4   In welcher Himmelsrichtung steht die Sonne zwischen ihrem Aufgang und dem Mittag?
              Waagerechte Achse: Uhrzeit  τ_o
              Senkrechte Achse: Himmelsrichtung der Sonne  A (in Grad), von Norden im Uhrzeigersinn gemessen
              SA = Sonnenaufgang
              Untere Kurve: Wahre Richtung; obere Kurve: Richtung nach Pfadfinder-Methode

Bild 4 zeigt die Effekte von Breite und Deklination gut auf. Mit wachsender Breite wird die Genauigkeit der Pfadfinder-Methode besser. Das wurde oben schon erklärt: In den hohen Breiten läuft die Sonne in einer flacheren Bahn über dem Horizont entlang und verhält sich ähnlich zu einer waagerecht liegenden Uhr. Außerdem ist die Genauigkeit zu Frühlings- und Herbstbeginn, also bei kleiner Deklination, besser als im Hochsommer bei großer Deklination. Das liegt daran, dass nur zu den Tag- und Nachtgleichen die Sonne tagsüber einen Halbkreis (also ihre halbe Bahn) beschreibt und deshalb um 06:00 Uhr im Osten und um 18:00 Uhr im Westen steht.

In den Subtropen nützt die Pfadfinder-Methode nur wenig. Wegen des Datums gilt das auch für das Jamboree auf der Briefmarke (orangener Kasten in Bild 4). Dadurch wird leider das schöne Design der Marke in seinem didaktischen Gehalt etwas geschmälert.

In der gesamten Nordpolarregion ist die Pfadfinder-Methode sehr gut anwendbar, z.B. in Alaska und Skandinavien. Natürlich geht das nicht für δ ≤ φ - 90° (Polarnacht). Für δ > 90°- φ gibt es keinen Sonnenaufgang, weil die Sonne den ganzen Tag scheint, was aber der Methode keinen Abbruch tut.

Die Grafiken in Bild 4 zeigen auch vertraute Regelmäßigkeiten für die Sonnenaufgangszeiten: Je größer die Deklination, desto früher geht die Sonne an einem Ort auf. Im Winterhalbjahr (Herbstanfang bis Frühlingsanfang, linke Spalte in Bild 4) gilt: Je weiter nördlich man sich befindet, desto später geht die Sonne auf. Im Sommerhalbjahr ist es umgekehrt.

Tropen und Südhalbkugel

Was schon für die Subtropen gesagt wurde, gilt in noch höherem Maße für die Tropen: Die Pfadfinder-Methode ist dort unbrauchbar. Durch den steilen Winkel, mit dem die Sonne auf- und untergeht, ist die Verzerrung ihrer Bahnwinkel gegenüber den Himmelsrichtungen am Horizont zu groß. Noch wichtiger ist, dass in den Tropen die Sonne zeitweise mittags im Süden und zu anderen Zeiten im Norden steht. Das gilt auch für Gabun, das vom Äquator gequert wird. So verdienstvoll die oben gezeigte Briefmarke für die mathematische Philatelie und die geomathematische Didaktik ist – im Land der Ausgabe dieser Marke kann die gezeigte Methode nicht angewendet werden.

Zur Südhalbkugel südlich des südlichen Wendekreises: Die erste Idee könnte sein, dass man alles, was im Norden gilt, mit einer Symmetrieüberlegung auf den Süden anwendet. Im Prinzip geht das auch, aber dann müsste man eine Uhr haben, die im Gegenuhrzeigersinn umläuft. Denn für φ < δ läuft die Sonne vom Osten über den Norden nach Westen, also von rechts nach links. Aber es gibt einen Trick, den die Scouts in Südafrika ins Netz gestellt haben: Man dreht die 12 auf der Uhr in Richtung der Sonne und halbiert dann den Winkel zum Stundenzeiger. Die Symmetrie zwischen den nördlichen und den südlichen Breiten kann man sich also so merken: Süd- und Nordrichtung sind vertauscht, und Stundenzeiger und die 12 auf der Uhr sind vertauscht.

Pfadfinder-Links:   deutsch    englisch (Südafrika)

Kategorie: Geomathematik

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Publiziert 2021-10-25 Stand 2020-12-07

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