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2024-09-18                                                                 Kommentare sind willkommen.


Orthodrome   Teil 3


In  Teil 1  wurde bereits eine allgemeine Einführung zu den Orthodromen auf der Erde gegeben. Dort und in  Teil 2  wurden maximale Orthodrome und ihre Scheitel betrachtet, also komplette "Rundflüge" um den Globus. Hier im dritten Teil geht es nun um die Kernaufgabe der Orthodromen-Berechnung, nämlich um geodätische Verbindungen zweier Orte: Es soll der Weg zwischen \(~A~\) und \(~B~\) entlang eines Großkreises mathematisch beschrieben werden.


Eingabe
\(\phi_A~\in (-90°,~90°)\)   geographische Breite von \(~A\)

\(\lambda_A~\in [~0°,~360°)\)   geographische Länge von \(~A\)

\(\phi_B~\in (-90°,~90°)\)   geographische Breite von \(~B\)

\(\lambda_B~\in [~0°,~360°)\)   geographische Länge von \(~A\),   \(\lambda_A \ne \lambda_B\)
\[\Delta\lambda_{ost} = (\lambda_B - \lambda_A)~\text{mod}~360°\]

Der triviale Fall, dass \(~A~\) und \(~B~\) auf dem gleichen Meridian liegen, wurde in der Eingabe ausgeschlossen.

Bild 1 zeigt das Kugeldreieck, das den Berechnungen zugrunde liegt. Wie in Teil 1 und Teil 2 liegen die Kurswinkel \(~\alpha_{ost/west}~\) und \(~\beta_{ost/west}~\) immer in Flugrichtung, d.h. der Zielwinkel ist in der gleichen Richtung wie der Startwinkel orientiert.

Ostrichtung

Bild 1
Bekannte Größen in Schwarz, zu berechnende Größen in Orange



Fahrt nach Osten  
\[t_{~\text{kurz}}~=~\text{arccos}~(\text{sin}~\phi_A~~\text{sin}~\phi_B~+~\text{cos}~~\phi_A~\text{cos}~\phi_B~~\text{cos}~\Delta \lambda_\text{ost})\] \[t_\text{ost}~=~\left\{ \begin{aligned} ~t_{~\text{kurz}}~~~~~~~~~~~~ \quad ~~~\Delta \lambda_\text{ost} \leq 180°\\ ~360°-t_{~\text{kurz}} \quad ~~~\Delta \lambda_\text{ost} \geq 180°\\ \end{aligned} \right.\] Streckenlänge
\[\alpha_{ost}~=~\text{arccot}~\frac{\text{cos}~\phi_A~~\text{tan}~\phi_B~-~\text{sin}~\phi_A~~\text{cos}~\Delta \lambda_\text{ost}}{\text{sin}~\Delta \lambda_\text{ost}}\] Startwinkel
\[\beta_{ost}~=~\text{arccot}~\frac{\text{sin}~\phi_B~~\text{cos}~\Delta \lambda_\text{ost}~-~\text{cos}~\phi_B~~\text{tan}~\phi_A}{\text{sin}~\Delta \lambda_\text{ost}}\] Zielwinkel


Fahrt nach Westen  
\[t_{~\text{kurz}}~=~\text{arccos}~(\text{sin}~\phi_A~~\text{sin}~\phi_B~+~\text{cos}~~\phi_A~\text{cos}~\phi_B~~\text{cos}~\Delta \lambda_\text{ost})\] \[t_\text{west}~=~360° - t_\text{ost}~=~\left\{ \begin{aligned} ~t_{~\text{kurz}}~~~~~~~~~~~~ \quad ~~~\Delta \lambda_\text{ost} \geq 180°\\ ~360°-t_{~\text{kurz}} \quad ~~~\Delta \lambda_\text{ost} \leq 180°\\ \end{aligned} \right.\] Streckenlänge
\[\alpha_{west}~=~180° - \alpha_{ost}~=~\text{arccot}~\frac{\text{sin}~\phi_A~~\text{cos}~\Delta \lambda_\text{ost}~-~\text{cos}~\phi_A~~\text{tan}~\phi_B}{\text{sin}~\Delta \lambda_\text{ost}}\] Startwinkel
\[\beta_{west}~=~180° - \beta_{ost}~=~\text{arccot}~\frac{\text{cos}~\phi_B~~\text{tan}~\phi_A~-~\text{sin}~\phi_B~~\text{cos}~\Delta \lambda_\text{ost}}{\text{sin}~\Delta \lambda_\text{ost}}\] Zielwinkel


 
                      Fahrt nach Osten ,  falls \(~\Delta\lambda_{ost} \leq 180°\)
                    /
Kurze Fahrt
                    \
                      Fahrt nach Westen ,  falls \(~\Delta\lambda_{ost} \geq 180°\)
 
 
                      Fahrt nach Osten ,  falls \(~\Delta\lambda_{ost} \geq 180°\)
                    /
Lange Fahrt
                    \
                      Fahrt nach Westen ,  falls \(~\Delta\lambda_{ost} \leq 180°\)
 


Scheitel

Es lässt sich leicht feststellen, ob ein Scheitel oder beide Scheitel auf dem Kurs von \(~A~\) nach \(~B~\) liegen. Das ist bei der Fahrt nach Osten dann der Fall, wenn \(~\lambda_N,~\lambda_S \in [\lambda_A,~\lambda_{B_~}]\).  \(~\lambda_{N/S}~\) findet man in den Scheitelformeln in  Teil 1 ,  mit \(~\alpha = \alpha_{ost}~\) und \(~r=1~\).  Ein Scheitel liegt genau dann auf dem West-Kurs, wenn er nicht auf dem Ost-Kurs liegt (Ausnahme: \(~A~\) oder \(~B~\) sind Scheitelpunkte). In  Teil 1  sind auch die Breiten der Scheitelpunkte angegeben sowie ihre Entfernungen vom Startpunkt.


Beispiel

Startpunkt Hawaii:  Breite \(~\phi_A = 20°\),  Länge \(~\lambda_A = 204,5°\)

Zielpunkt Johannisberg im Rheingau:  Breite \(~\phi_B = 50°\),  Länge \(~\lambda_B = 7,98°\)

Wir nehmen den kurzen Weg. Wegen \(~\Delta\lambda_{ost} = 163,48°\) ist das der Weg nach Osten.

Entfernung Start - Ziel: \(~t_{ost} = 108,487° = 12063,1~\text{km}\)

Startwinkel: \(~\alpha_{ost} = 11,112°\)      Zielwinkel: \(~\beta_{ost} = 163,636°\)

Mit Teil 1 berechnen wir die Lage der Scheitel. Nur der Nordscheitel liegt auf dem Kurs von \(~A~\) nach \(~B~\):

\(~\phi_N~=~79,566°\),  \(~\lambda_N~=~290,657°\)   (nördlichster Punkt der Reise)

Fahrtstrecke bis zum Scheitel: \(~t_N = 69,649° = 7744,58~\text{km}\)

Bild 2 zeigt den geodätischen Kurs von Hawaii nach Johannisberg:

Hawaii-Johannisberg

Bild 2
Längen- und Breitenkreise im 30°-Abstand; hellgrün: Kurslinie auf der Rückseite des Globus

Den Verlauf der Reise in zwölf gleich langen Etappen zeigt die Tabelle (erstellt mit  Teil 1):

Tabelle

Eine lückenlose Darstellung des Reiseverlaufs liefern die Graphen in Bild 3, mit der zurückgelegten Strecke als unabhängige Variable (erstellt mit  Teil 1):

Graphen fuer t

Bild 3
Grün: Reise von Hawaii nach Johannisberg.  Schwarz: Rest der vollständigen geodätischen Erdumrundung.


Die Graphen in Bild 4 zeigen den Reiseverlauf mit dem Längengrad als unabhängige Variable (erstellt mit  Teil 2):

Graphen fuer lambda

Bild 4
Grün: Reise von Hawaii nach Johannisberg.  Schwarz: Rest der vollständigen geodätischen Erdumrundung.



Kategorie: Geomathematik                    Kommentare sind willkommen.


Stand 2022-08-07

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