Dodekaeder    MB Matheblog # 34 Inhalt Blog
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2024-06-06                                                                 Kommentare sind willkommen.


Orthodrome   Teil 1


Geodäten sind kürzeste Verbindungskurven zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Fläche. In diesem Beitrag sollen Geodäten auf der Kugeloberfläche betrachtet werden  –  diese nennt man Orthodromen. Da die Erde näherungsweise kugelförmig ist, werden Orthodromen u.a. in der Schiff- und Luftfahrt angewandt. Die Abplattung der Erde an den Polen (Faktor ca. \(0,003\)) wird dabei nicht berücksichtigt.

Die Berechnung von Orthodromen erfolgt mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie. Im Internet finden sich entsprechende Formelsammlungen z.B. für Segler, Sportflieger oder Brieftaubenvereine. Diese unterscheiden sich erheblich in Ausführlichkeit, Vollständigkeit, Herleitung und Darstellung  –  einen Leser könnte es beispielsweise verwirren, dass für dieselbe mathematische Größe verschiedene Formeln anzutreffen sind. Auch wird oft bei der Darstellung der Formeln nicht an eine einfache Programmierbarkeit gedacht.  –  Aus diesen Gründen soll hier eine zusammenfassende ausführliche Übersicht gegeben werden, die sich an einer leichten Herleitung und an der Umsetzbarkeit auf einem programmierbaren Taschenrechner oder einem PC orientiert.

Die Grundlagen für die Berechnung von Orthodromen findet man in der Kugelgeometrie und der sphärischen Trigonometrie. Die Herleitungen in diesem Blog setzen erst bei den Formeln zur Dreiecksberechnung auf der Kugel ein.

Den Orthodromen werden in diesem Blog drei aufeinanderfolgende Beiträge gewidmet. In diesem ersten Teil sollen Großkreise auf der Erde betrachtet werden, also maximale Orthodrome, die nicht nur von \(~A~\) nach \(~B~\) führen, sondern die ganze Erde umrunden. Dazu muss lediglich ein Startpunkt und ein Startwinkel angegeben werden.

Bild 1 zeigt eine maximale Orthodrome. Die Erde zeigt sich in Frontalansicht; in der Mitte liegt der Schnittpunkt des Äquators mit dem Nullmeridian. In dieser Ansicht wäre nur der schwarze Anteil des Großkreises sichtbar; der Anteil des Großkreises, der auf der Rückseite der Erdkugel liegt, ist grau gezeichnet. Für Anwender der Berechnung von Orthodromen sind die Scheitel der Kurve von Interesse, also der nördlichste und südlichste Kurvenpunkt; dort sind die Orthodrome und der Meridian orthogonal zueinander. Die beiden Scheitel sind in Bild 1 eingezeichnet.


Orthodrome

Bild 1  Maximale Orthodrome
Startpunkt (grün) bei Breite \(~-34~\) und Länge \(~18,5\)
Startwinkel \(~107~\) nach Osten oder \(~73~\) nach Westen
Nordscheitel bei Breite \(~37,55~\) und Länge \(~227,17~\), Südscheitel bei Breite \(~-37,55~\) und Länge \(~47,17~\) (orange)


Die maximalen Orthodromen sind Großkreise auf der Kugel, die  –  sofern sie nicht über die Pole verlaufen  –  alle Meridiane (Längengrade) aufsteigend oder absteigend (modulo \(360\))) durchlaufen.  —  Wir werden die Orthodrome der Anschaulichkeit halber häufig als Flugbahn auffassen, wenn z.B. vom "Abflugwinkel" die Rede ist. Das lässt sich natürlich leicht auf andere Anwendungen, wie etwa die Schifffahrt, übertragen.

In der folgenden grünen Tafel stehen die Eingabeparameter, die vorab kurz präzisiert werden sollen:

Geographische Breite \(~\phi_A~\):  Nord- und Südpol sind ausgenommen, da kein Zielort angegeben ist und man keinen Abflugwinkel und keine Abflugrichtung angeben kann. Alle Orthodrome durch die Pole laufen entlang zweier entgegengesetzter Meridiane und sind somit triviale Fälle, die hier nicht weiter betrachtet werden.

Geographische Länge \(~\lambda_A~\):  Der Nullmeridian verläuft durch Greenwich. Von dort geht die Längengradzählung ostwärts rund um die Erde. Die häufig anzutreffende Angabe der Längen im Intervall \(~(-180,180]\) lässt sich leicht (mit modulo \(360\)) in das hier verwendete Intervall \(~[~0,360)\) umrechnen.

Abflugwinkel und Abflugrichtung \(~\alpha,~r~\):  Der Winkel schließt den Meridian (in Richtung Nordpol) des Startpunkts und die Flugkurve nach dem Start ein. Er ist vorzeichenlos, da durch die Abflugrichtung \(r=\pm 1~\) ("östlich" oder "westlich") bestimmt wird, ob der Winkel rechts oder links vom Meridian liegt. \(~45~\) entspricht also je nach Abflugrichtung Nordost oder Nordwest; \(~90~\) entspricht je nach Abflugrichtung Ost oder West, usw. Der Abflugwinkel soll hier nicht \(~0\) (Flug nach Norden) oder \(~180\) (Flug nach Süden) betragen; dies sind triviale Fälle, in denen der Flug entlang des Startmeridians und später entlang des entgegengesetzten Meridians (und über beide Pole) verläuft.


Eingabe
\(\phi_A~\in (-90,~90)\)   geographische Breite von \(~A\)

\(\lambda_A~\in [~0,~360)\)   geographische Länge von \(~A\)

\(\alpha~\in (~0,~180)\)   Abflugwinkel (\(~0 =~\)Nord)

\(r\)   Abflugrichtung  (\(~r = 1~\) östlich,  \(~r = -1~\) westlich)



Scheitel

Die beiden Scheitel sind Antipoden  –  mit einer Ausnahme: Für \(~\phi_A = 0,~\alpha = 90~\) verläuft die Flugbahn entlang des Äquators und hat keine Scheitel; dieser Fall wird also in den folgenden Rechnungen fortgelassen. Für \(~\alpha \lt 90~\) verläuft die Flugbahn von \(~A~\) zuerst nordwärts bis zum Nordscheitel \(~N~\),  ab dann südwärts bis zum Südscheitel \(~S~\),  dann weiter nordwärts bis \(~A~\). Für \(~\alpha \gt 90~\) verläuft die Flugbahn von \(~A~\) zuerst südwärts bis zum Südscheitel, ab dann nordwärts bis zum Nordscheitel, dann weiter südwärts bis \(~A~\). Das lässt sich anhand von Bild 1 gut nachvollziehen. Für \(~\alpha = 90~\) ist \(~A=N~\) für \(~A~\) auf der Nordhalbkugel und \(~A=S~\) für \(~A~\) auf der Südhalbkugel.

Als erste Aufgabe der Berechnung von Orthodromen soll die Lage der Scheitel bestimmt werden. Bild 2 zeigt die beiden Kugeldreiecke, die dafür herangezogen werden.

Scheitel Ost      Scheitel West

Bild 2  Berechnung des Nordscheitels
Links: \(~r=1~\);  rechts: \(~r=-1\)
Bekannte Größen in Schwarz, zu berechnende Größen in Orange
A: Startpunkt      N: Nordscheitel (siehe Bild 1 und Absatz davor)


Gesucht sind zunächst die folgenden Größen für den Nordscheitel:
Im rechtwinkligen Kugeldreieck gilt:
\(\text{sin}(90-\phi_N)~=~\text{sin}(90-\phi_A)~\text{sin}~\alpha~~~~\Rightarrow~~\text{cos}~\phi_N~=~\text{cos}~\phi_A~\text{sin}~\alpha~\in~(0,1)\).

Die Auflösung der Gleichung nach \(~\phi_N~\) ist eindeutig, da \(~\phi_N \gt 0~\), also gilt: \(~\phi_N~=~\text{arccos}(\text{cos}~\phi_A~\text{sin}~\alpha)~\).

Hier wird der Umfang des Intervalls von Längengraden gesucht, die bis \(~N~\) überflogen werden. \(~~\Delta\lambda_N~\) wird mit dem gleichen Vorzeichen wie \(~r~\) angegeben.

Im doppel-rechtwinkligen Kugeldreieck gilt für \(~\alpha = 90~\):  \(~\Delta\lambda_N = 0~\) für \(~A~\) auf der Nordhalbkugel und \(~|\Delta\lambda_N| = 180~\) für \(~A~\) auf der Südhalbkugel.

Für \(~\alpha \neq 90~\) gilt:  \(~~\text{cot}~|\Delta\lambda_N|~=~\text{cos}(90-\phi_A)~\text{tan}~\alpha~~~~\Rightarrow~~\text{cot}~|\Delta\lambda_N|~=~\text{sin}~\phi_A~\text{tan}~\alpha~\).

Die Auflösung der Gleichung nach \(~|\Delta\lambda_N|~\) ist zweideutig, da \(~|\Delta\lambda_N| \in (0,180)\cup(180,360)~\). Nach der Vorbemerkung in diesem Kapitel gilt:
\(\alpha \lt 90:~|\Delta\lambda_N| = \text{arccot}(\text{sin}~\phi_A~\text{tan}~\alpha)~\).
\(\alpha \gt 90:~|\Delta\lambda_N| = \text{arccot}(\text{sin}~\phi_A~\text{tan}~\alpha)~+~180\).

Hinweis: Bei der Berechnung der Bahngrößen mit Mathematica muss berücksichtigt werden, dass dort der  arccot  die Umkehrfunktion von \(~\text{cot}:[-\pi/2,~\pi/2]\setminus\{0\}~\rightarrow~\textbf{R}~\) ist, entgegen der üblicheren Umkehrfunktion von \(~\text{cot}:(0,~\pi)~\rightarrow~\textbf{R}~\),  die auch hier verwendet wird. Dies lässt sich heilen, indem man die Mathematica-Funktion  acot[x_]:= ArcCot[x] + If[x<0,π,0]  definiert.

Hier zeigt sich, warum \(~~\Delta\lambda_N~\) mit Vorzeichen angegeben wird: Jetzt lässt sich die Länge des Scheitels leicht als Summe \(~~\lambda_A + \Delta\lambda_N~\) angeben. Dieser Winkel kann \(~\lt 0~\) oder \(~\ge 360~\) sein, deshalb wird er noch mittels  modulo \(360~\) normiert.

Allgemein wollen wir unter einer Kurslänge die Länge eines Orthodromenstücks zwischen zwei Punkten bezeichnen. Hier geht es um die Punkte \(~A~\) und \(~N~\),  siehe Bild 2. Da der Kurs entlang eines Großkreises verläuft, lässt sich die Kurslänge am einfachsten im Gradmaß angeben. Dies lässt sich leicht in \(~km~\) umrechnen, siehe Beispiel am Ende dieses Beitrags.

Im rechtwinkligen Kugeldreieck gilt für \(~\alpha \neq 90~\):
\(\text{cot}~t_N~=~\text{cot}(90-\phi_A)/\text{cos}~\alpha~=~\text{tan}~\phi_A~/\text{cos}~\alpha~\).

Für \(~\alpha = 90~\) gilt im doppel-rechtwinkligen Kugeldreieck (analog zur Längendifferenz) \(~t_N = 0~\) für \(~A~\) auf der Nordhalbkugel und \(~t_N = 180~\) für \(~A~\) auf der Südhalbkugel.

Die Auflösung der Gleichung nach \(~t_N~\) ist zweideutig, da \(~t_N \in (0,180)\cup(180,360)~\). Deshalb gilt wie bei der Längendifferenz, dass \(~180~\) zu \(~t_N = \text{arccot}~(\text{tan}~\phi_A~/\text{cos}~\alpha)~\) zu addieren sind, falls \(~\alpha \gt 90~\).


Da der Südscheitel antipodisch zum Nordscheitel liegt, ergeben sich alle Kennwerte für den Südscheitel aus der Symmetrie der Scheitel. Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht.


Nordscheitel  Koordinaten nächstgelegener Scheitel für \(~\alpha \lt 90\)
entfernter gelegener Scheitel für \(~\alpha \gt 90\)
\(\phi_N = \text{arccos}~(\text{cos}~\phi_A~~\text{sin}~\alpha)\) geographische Breite
\(\Delta\lambda_N = r \cdot \text{arccot}~(\text{sin}~\phi_A~~\text{tan}~\alpha)~~~(+~r\cdot 180,~\text{falls}~~\alpha \gt 90)\)

      Für \(~\alpha = 90~\land~\phi_A \gt 0\) ist \(~\Delta\lambda_N = 0~\).
      Für \(~\alpha = 90~\land~\phi_A \lt 0\) ist \(~\Delta\lambda_N = r\cdot 180~\).
Längendifferenz \(~N - A\)
\(\lambda_N = (\lambda_A + \Delta\lambda_N)~~\text{mod}~360\) geographische Länge
\[t_N = \text{arccot}~\frac{\text{tan}~\phi_A}{\text{cos}~\alpha}~~~(+~ 180,~\text{falls}~~\alpha \gt 90)\]       Für \(~\alpha = 90~\land~\phi_A \gt 0\) ist \(~t_N = 0~\).
      Für \(~\alpha = 90~\land~\phi_A \lt 0\) ist \(~t_N = 180~\).
Kurslänge
   
Südscheitel  Koordinaten nächstgelegener Scheitel für \(~\alpha \gt 90\)
entfernter gelegener Scheitel für \(~\alpha \lt 90\)
\(\phi_S = -~\phi_N\) geographische Breite
\(\Delta\lambda_S = r\cdot((|\Delta\lambda_N| + 180)~~\text{mod}~360\)) Längendifferenz \(~S - A\)
\(\lambda_S = (\lambda_N + 180)~~\text{mod}~360\) geographische Länge
\(t_S = (t_N + 180)~~\text{mod}~360\) Kurslänge


Nun zur Hauptaufgabe: Wo befindet man sich, wenn man die Strecke \(~t~\) zurückgelegt hat? Bild 3 zeigt die beiden Kugeldreiecke, die dafür herangezogen werden.

Ostrichtung      Westrichtung

Bild 3  Berechnung des Kurspunkts
Links: \(~r=1~\);  rechts: \(~r=-1\)
Bekannte Größen in Schwarz, zu berechnende Größen in Orange


Nach dem Seiten-Kosinus-Satz gilt:
\(\text{cos}(90-\phi_t)~=~\text{cos}(90-\phi_A)~\text{cos}~t~+~\text{sin}(90-\phi_A)~\text{sin}~t~\text{cos}~\alpha~~~~\Rightarrow~~~~\text{sin}~\phi_t~=~\text{sin}~\phi_A~\text{cos}~t~+~\text{cos}~\phi_A~\text{sin}~t~\text{cos}~\alpha~\).

Die Auflösung der Gleichung nach \(~\phi_t~\) ist eindeutig, da \(~\phi_t \in (-90,90)~\), also gilt: \(~\phi_t~=~\text{arcsin}~(\text{sin}~\phi_A~\text{cos}~t~+~\text{cos}~\phi_A~\text{sin}~t~\text{cos}~\alpha)~\).

\(\Delta\lambda_t~\) ist analog zu \(~\Delta\lambda_N~\) definiert und wird für \(~t \notin \{0,180,360\}~\) mit dem Kotangens-Satz berechnet:

\(\text{cot}~|\Delta\lambda_t|~=~(\text{sin}(90-\phi_A)~\text{cot}~t~-~\text{cos}(90-\phi_A)~\text{cos}~\alpha)/\text{sin}~\alpha~~~~\Rightarrow~~\text{cot}~|\Delta\lambda_t|~=~(\text{cos}~\phi_A~\text{cot}~t - \text{sin}~\phi_A~\text{cos}~\alpha)/\text{sin}~\alpha~\)

Die Auflösung der Gleichung nach \(~|\Delta\lambda_t|~\) ist zweideutig, da \(~|\Delta\lambda_t| \in (0,180)\cup(180,360)~\).

\(t \lt 180:~|\Delta\lambda_t|~=~\text{arccot}~((\text{cos}~\phi_A~\text{cot}~t - \text{sin}~\phi_A~\text{cos}~\alpha)/\text{sin}~\alpha)~\)
\(t \gt 180:~|\Delta\lambda_t|~=~\text{arccot}~((\text{cos}~\phi_A~\text{cot}~t - \text{sin}~\phi_A~\text{cos}~\alpha)/\text{sin}~\alpha)~+~180\)

Ist \(~t = 180~\),  so wurde die Antipode zu \(~A~\) erreicht, also ein halber Großkreis durchlaufen; somit ist \(~|\Delta\lambda_t|~=~180\).

\(\lambda_t~\) wird analog zu \(~\lambda_N~\) berechnet.

Der Winkel \(~\beta_t~\) liegt in der gleichen Fahrtrichtung wie \(~\alpha~\) und wird eingeschlossen durch den Meridian des Kurspunktes und der Orthodrome. \(~180-\beta_t~\) ist dann der zugehörige Innenwinkel in Bild 3. Wir wenden wieder den Kotangens-Satz an:

\(\text{cot}(180-\beta_t)~=~(\text{cot}(90-\phi_A)~\text{sin}~t - \text{cos}~t~\text{cos}~\alpha)/\text{sin}~\alpha~=~(\text{tan}~\phi_A~\text{sin}~t - \text{cos}~t~\text{cos}~\alpha)/\text{sin}~\alpha\)

Die Auflösung der Gleichung nach \(~\beta_t~\) ist eindeutig, da \(~\beta_t \in (0,180)~\).

\(\beta_t~=~180 - \text{arccot}((\text{tan}~\phi_A~\text{sin}~t - \text{cos}~t~\text{cos}~\alpha)/\text{sin}~\alpha)\)

Diese vier Werte ergeben sich leicht aus den bisher berechneten Größen.


Koordinaten des Kurspunktes bei erreichter Kurslänge \(~t\)  
\(\phi_t = \text{arcsin}~(\text{sin}~\phi_A~~\text{cos}~t + \text{cos}~\phi_A~~\text{sin}~t~~\text{cos}~\alpha)\) geographische Breite
\[\Delta\lambda_t = r \cdot \text{arccot}~\frac{\text{cos}~\phi_A~~\text{cot}~t - \text{sin}~\phi_A~~\text{cos}~\alpha}{\text{sin}~\alpha}~~~(+~r\cdot 180,~\text{falls}~~t \gt 180)\]       Für \(~t \in \{0,180,360\}~\) ist \(~\Delta\lambda_t = r \cdot t~\). Längendifferenz zu \(~A\)
\(\lambda_t =(\lambda_A + \Delta\lambda_t)~~\text{mod}~360\) geographische Länge
\[\beta_t = 180 - \text{arccot}~\frac{\text{tan}~\phi_A~~\text{sin}~t - \text{cos}~t~~\text{cos}~\alpha}{\text{sin}~\alpha}\] Kurswinkel
\(t_{tN} = (t_N - t)~~\text{mod}~360\)

\(N~\) bereits überflogen, falls  \(t \gt t_N~\).
Entfernung zum Nordscheitel
\(\Delta\lambda_{tN} = r\cdot((|\Delta\lambda_N| - |\Delta\lambda_t|)~~\text{mod}~360)\)

\(N~\) bereits überflogen, falls  \(~|\Delta\lambda_t| \gt |\Delta\lambda_N|~\).
Längendifferenz zum Nordscheitel
\(t_{tS} = (t_S - t)~~\text{mod}~360\)

\(S~\) bereits überflogen, falls  \(t \gt t_S~\).
Entfernung zum Südscheitel
\(\Delta\lambda_{tS} = r\cdot((|\Delta\lambda_S| - |\Delta\lambda_t|)~~\text{mod}~360)\)

\(S~\) bereits überflogen, falls  \(~|\Delta\lambda_t| \gt |\Delta\lambda_S|~\).
Längendifferenz zum Südscheitel



Beispiel  (siehe Bild 1)

Tabelle oben


Tabelle unten


Graphen



Kategorie: Geomathematik                    Kommentare sind willkommen.



Stand 2022-06-08


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