Dodekaeder    MB Matheblog # 35 Inhalt Blog
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2024-07-28                                                                 Kommentare sind willkommen.


Orthodrome   Teil 2


In Teil 1 wurde bereits eine allgemeine Einführung zu den Orthodromen auf der Erde gegeben. Wir zeigen nochmal das Bild einer maximalen Orthodrome mit der Flugbahn entlang eines kompletten Großkreises:

Orthodrome

Bild 1  Maximale Orthodrome
Startpunkt \(~A~\) (grün) bei Breite \(-34°~\) und Länge \(~18,5°\)
Startwinkel \(~107°~\) nach Osten oder \(~73°~\) nach Westen
Nordscheitel bei Breite \(~37,55°~\) und Länge \(~227,17°~\), Südscheitel bei Breite \(-37,55°~\) und Länge \(~47,17°~\) (orange)


Eingabe
\(\phi_A~\in (-90°,~90°)\)   geographische Breite von \(~A\)

\(\lambda_A~\in [~0°,~360°)\)   geographische Länge von \(~A\)

\(\alpha~\in (~0°,~180°)\)   Abflugwinkel (\(~0° =~\)Nord)

\(r\)   Abflugrichtung  (\(~r = 1~\) östlich,  \(~r = -1~\) westlich)

Mit diesen Eingabewerten wurde in Teil 1 bereits die Lage der beiden Scheitel (siehe Bild 1) berechnet.

Die Hauptaufgabe in Teil 1 war die Bestimmung des Kurspunktes, wenn man die Strecke \(~t~\) zurückgelegt hat. Nun wollen wir uns der zweiten Hauptaufgabe stellen, den Kurspunkt bei einer erreichten geographischen Länge \(~\lambda ~\) zu bestimmen.

Bild 2 zeigt die beiden Kugeldreiecke, die dafür herangezogen werden.

Ostrichtung      Westrichtung

Bild 2  Berechnung des Kurspunkts
Links: \(~r=1~\);  rechts: \(~r=-1\)
Bekannte Größen in Schwarz, zu berechnende Größen in Orange



Bestimmung des Kurspunktes bei erreichter geographischer Länge \(~\lambda\)

\(\Delta \lambda = (r\cdot (\lambda - \lambda_A))~~\text{mod}~360°\) 		 
\[\phi_{\lambda}~=~\text{arctan}~\frac{\text{cot}~\alpha~\text{sin}~\Delta \lambda~+~\text{sin}~\phi_A~\text{cos}~\Delta \lambda}{\text{cos}~\phi_A}\] geographische Breite
\[t_{\lambda}~=~\text{arccot}~\frac{\text{sin}~\alpha~~\text{cot}~\Delta \lambda~+~\text{sin}~\phi_A~~\text{cos}~\alpha}{\text{cos}~\phi_A}~~~~(+~180°~~\text{für}~~\Delta \lambda \gt 180°)\] Für \(~\Delta \lambda~\in \{180°,~360°\}~\) ist  \(~t_{\lambda}~=~\Delta \lambda~\). Entfernung von \(~A\)
\[\beta_{\lambda}~=~\text{arccos}(\text{cos}~\alpha~~\text{cos}~\Delta \lambda~-~\text{sin}~\alpha~~\text{sin}~\Delta \lambda~~\text{sin}~\phi_A)\] Kurswinkel



Beispiel 1

Wie in Bild 1:  Startpunkt:  Breite \(~\phi_A = -34°\),  Länge \(~\lambda_A = 18,5°\).  Wir starten nach Westen mit Abflugwinkel (gen Nord) \(~\alpha = 73°\).

Mit Teil 1 berechnen wir:

Nordscheitel bei Breite \(~\phi_N~\approx~37,55°\),  Länge \(~\lambda_N~\approx~227,17°\)
Südscheitel bei Breite \(~\phi_S~\approx~-37,55°\),  Länge \(~\lambda_S~\approx~47,17°\)

Welche Breitengrade und welche Streckenlänge überfliegen wir in der nautischen Zeitzone \(~\text{UTC}\pm 0~(= \text{WEZ}= \text{GMT})\)?  (Zu den nautischen Zeitzonen siehe auch Problem # 92 auf dieser Website.)

Da wir von Ost nach West fliegen, erreichen wir diese Zeitzone bei \(~\lambda = 7,5°\) und verlassen sie bei \(~\lambda = 352,5°\).

Länge \(~\lambda = 7,5°~~~~\rightarrow~~\)  Breite \(~\phi~\approx -30,61°\),  zurückgelegte Strecke \(~t~\approx~9,89° = 1099,44~\text{km}\)

Länge \(~\lambda = 352,5°~~~~\rightarrow~~\)  Breite \(~\phi~\approx -23,97°\),  zurückgelegte Strecke \(~t~\approx~24,76° = 2753,54~\text{km}\)

Ein Scheitel liegt nicht in dieser Zeitzone (s.o.), also wächst der Breitengrad streng monoton von \(-30,61°\) bis \(-23,97°\).  Die Flugstrecke beträgt \(~14,87° = 1654,10~\text{km}~\)  (siehe hellgrüne Etappe in Bild 3).

Zeitzone

Bild 3   Zu Beispiel 1:
Startpunkt grün, Scheitel orange, Etappe über Zeitzone \(~\text{UTC}\pm 0~\) hellgrün


Beispiel 2

Wir bleiben bei Bild 3 und fliegen nun einen vollen Großkreis um die Erde, diesmal ostwärts. Tabelle 1 zeigt den Verlauf der Reise in Abhängigkeit von den überflogenen Meridianen. Die orangenen Linien zeigen an, wo die Scheitel (siehe Beispiel 1) überflogen werden.

Tabelle

Tabelle 1   Zu Beispiel 2.  Alle Angaben in  °.

Tabelle 1 wurde mit den Formeln im grünen Kasten oberhalb von Beispiel 1 berechnet. Die einzelnen Zeilen stehen nicht für äquidistante Etappen, sondern für \(~30°-\)Abstände der überflogenen Längengrade. Eine lückenlose Darstellung liefern die Graphen in Bild 4:

Graphen

Bild 4   Zu Beispiel 2:
Startpunkt:  \(~\phi_A = -34°\),  \(~\lambda_A = 18,5°\).  Abflugwinkel \(~\alpha = 107°\) nach Osten.



Kategorie: Geomathematik                    Kommentare sind willkommen.


Stand 2022-07-29

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Manfred Börgens   |   Zur Leitseite