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(1) Die Annahmezahl \(~c~\) steht für die folgende Anweisung: Akzeptiere das Los (zur Auslieferung), falls in der Stichprobe \(~i \le c~\) ist. |
(2) \(p(G|i)~~\) und \(~~p(S|i)~~\) sind die Wahrscheinlichkeiten, dass sich das gesamte Los als gut bzw. schlecht herausstellt, falls in der Stichprobe genau \(~i~\) defekte Stücke oder Fehler gefunden wurden.
Wegen \(S = \neg G~~\) ist \(~~p(S|i) = 1 - p(G|i)\). Es wird unterstellt (und ist naheliegend), dass \(~p(G|i)~\) monoton fällt, d.h. \(~p(G|i)~\ge~p(G_~|_~i+1)~\). |
(3) Ein Los wird bei \(~i~\) defekten Stücken oder Fehlern in der Stichprobe angenommen \(~(A)~\), falls gilt: \[p(G|i)~\ge~\frac{E_{SZ}-E_{SA}}{E_{GA}-E_{SA}-E_{GZ}+E_{SZ}}~=:~\gamma \in (0,1)\] |
(4) \(c = \text{max}_~ \{_~i~|~p(G|i)~\ge~\gamma_~\}\) |
(5) Der Prüfplan \(~(n,c)~\) ist die Kurzform einer Anweisung: Prüfe eine zufällige Stichprobe des Umfangs \(~n~\) aus dem Los; akzeptiere das Los (zur Auslieferung), falls maximal \(~c~\) defekte Stücke in der Stichprobe sind. |
(6) \(M~\) sei die Reklamationsgrenze, d.h. bei \(~M~\) oder mehr fehlerhaften Stücken im Los gilt das Los als schlecht \(~(S)~\). Dann gilt:
\(~p(G|i)=~B_{p,_~N-n_~}(M-1-i)\) \(B~\) steht dabei für die kumulierte Binomialverteilung, hier mit den Parametern \(~p~\) und \(~N-n~\). Das Argument der Verteilung ist \(~M-1-i~\), es werden also die Werte dieser Binomialverteilung von \(~0~\) bis \(~M-1-i~\) summiert. |
(7)
\(c = \text{min}_~ \{_~n-1,~c_1~\}~~~\text{mit}~~~c_1=\text{max}_~ \{_~i~|~B_{p,_~N-n_~}(M-1-i)~\ge~\gamma_~\}\)
Insbesondere gilt \(~c~\le~M-1~\). |
(8) \(c = \text{min}_~ \{_~n-1,~M-1-\text{Quantile}_~(B_{p,_~N-n_~},_~\gamma)~\}\) |
(9)
Excel: \(c =~\)min (n - 1, M - 1 - binom.inv(N-n; p; γ))
Mathematica: c = Min [n - 1, M - 1 - Quantile[BinomialDistribution[N-n, p], γ]] |
(10) Der Prüfplan \(~(r,c)~\) ist die Kurzform einer Anweisung: Ziehe eine zufällige Stichprobe des Umfangs \(~r~\) aus dem Los; akzeptiere das Los (zur Auslieferung), falls maximal \(~c~\) Fehler in der Stichprobe sind. |
(11) \(M~\) sei die Reklamationsgrenze, d.h. bei \(~M~\) oder mehr Fehlern im Los gilt das Los als schlecht \(~(S)~\). Dann gilt:
\(~p(G|i)=~P_{(1-r)_~\lambda_~}(M-1-i)\) \(P~\) steht dabei für die kumulierte Poisson-Verteilung, hier mit dem Parameter \(~(1-r)_~\lambda~\). Das Argument der Verteilung ist \(~M-1-i~\), es werden also die Werte dieser Poisson-Verteilung von \(~0~\) bis \(~M-1-i~\) summiert. |
(12)
\(c = \text{max}_~ \{_~i~|~P_{(1-r)_~\lambda_~}(M-1-i)~\ge~\gamma_~\}\)
Insbesondere gilt \(~c~\le~M-1~\). |
(13) \(c = M-1-\text{Quantile}_~(P_{(1-r)_~\lambda_~},_~\gamma)\) |
(14) Mathematica: c = M - 1 - Quantile[PoissonDistribution[(1-r)λ], γ] |
Stand 2022-09-13