Quality Control: Prüfung ausgewählter Komponenten Kommentare sind willkommen.
Fortsetzung von Blog # 10
Einführung
Wir behandeln ein Problem im Zusammenhang mit Funktionsprüfungen (kurz: Tests) von Mehrkomponentensystemen. Ein technisches Aggregat in Serienfertigung möge aus \(n\) Komponenten bestehen, die interagieren und von \(n\) Schaltern einzeln und voneinander unabhängig aktiviert werden können. In einem solchen Fall muss die Qualitätssicherung (im Folgenden mit dem englischen Begriff Quality Control (QC) bezeichnet) Tests für verschiedene Positionen der Schalter durchführen. In diesem Beitrag wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, mit der nach \(m\) Tests alle Komponenten mindestens einmal in AN-Position waren. Diese Wahrscheinlichkeit liefert nützliche Informationen im Rahmen der Statistischen Prozesssteuerung (engl. Statistical Process Control (SPC)). Eine umfassende SPC als Bestandteil des QC würde für jedes einzelne Aggregat innerhalb einer Stichprobe \(2^n-1\) Tests erfordern, um alle möglichen AN/AUS-Positionen der Schalter abzudecken (mit Ausnahme von "ALLE-AUS").
Einzelprüfungen jedes Schalters sind in diesem Fall für die SPC nicht angemessen. Bei technischen Aggregaten kann man davon ausgehen, dass die einzelnen Komponenten intern interagieren. Die Schalter sind dagegen unabhängig voneinander mit den Komponenten verdrahtet. Dies führt zu der Erfordernis, verschiedene Kombinationen der AN/AUS-Positionen der Schalter zu testen.
Dies erinnert an eine von W.E. DEMINGs berühmten 14 Regeln (siehe z.B. [6; 1.6]):
Regel 3: Beenden Sie die Abhängigkeit von Masseninspektionen. Verlangen Sie statt dessen statistische Nachweise für vorhandene Qualität, um "Vollkontrolle" entbehrlich zu machen.
Diese Regel mag zwar dem modernen Qualitätsmanagement gut vertraut sein, aber die von Deming geforderten "statistischen Nachweise" sind für das oben dargelegte Problem keineswegs trivial und werden nach Kenntnis des Verfassers nicht in QC-Lehrbüchern behandelt.
Die erwähnten \(2^n-1\) Tests würden eine Form der Vollkontrolle darstellen und sich damit in der Praxis als zu aufwändig erweisen, so dass eine andere (statistische) Vorgehensweise erwogen werden sollte: Für jede Prüfung eines produzierten Aggregats wird eine Zufallsfolge von \(n\) \(1\)en und \(0\)en generiert (unter Ausschluss einer reinen \(0-\)Folge), die die AN/AUS-Positionen der Schalter während der Funktionsprüfung definiert.
Wir werden zwei Szenarien für die Anwendung dieser Zufallsprozedur vorstellen. Die erste sieht \(m\) Tests für jedes zu prüfende Aggregat vor. Da wir von einer Serienfertigung ausgehen, kommt noch ein weiteres Szenario in Betracht. Wenn man in ausreichend großen Stichproben von \(m\) sukzessiv produzierten Aggregaten jeweils einen einzigen Test (d.h. mit nur einer zufälligen Kombination der Schaltereinstellungen) pro Aggregat durchführt, ist es unwahrscheinlich, dass ein systematischer, also sich wiederholender Defekt über längere Zeit unentdeckt bleibt. - Es stellt sich die Aufgabe, für beide Szenarien die zugehörigen exakten Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von \(m\) zu bestimmen.
1. Zwei Szenarien und ein Beispiel
Wir beginnen mit einem Beispiel. Eine kleine Maschine hat zahlreiche Bestandteile, von denen \(n=6\) Komponenten eine unabhängige Stromversorgung aufweisen, die mit \(6\) Schaltern gesteuert wird. Da die Komponenten interagieren können, reicht eine Funktionsprüfung einzelner Komponenten nicht aus. Die QC kann unter den folgenden Szenarien wählen:
(1) Jede Maschine wird \(m=7\) Funktionsprüfungen unterzogen. Jeder dieser \(7\) Tests wird mit einem jeweils neu und zufällig erzeugten \(6-\)Tupel von \(1\)en (für AN) und \(0\)en (für AUS) für the Position der \(n=6\) Schalter durchgeführt. Die Ergebnisse der \(7\) Tests können als zufällige Stichprobe aus allen möglichen Schalterpositionen betrachtet werden.
(2) Wegen zeitaufwändiger und/oder teurer Testprozeduren wird jede zu prüfende Maschine nur einmal getestet. Auch hier beruht jeder Test auf einem jeweils neu und zufällig erzeugten \(6-\)Tupel von \(1\)en und \(0\)en für the Positionen der Schalter. Wenn man wieder \(m=7\) wählt, können zufällig ausgewählte \(7\) konsekutiv produzierte Maschinen als Stichprobe im Zuge der SPC aufgefasst werden.
Für beide Szenarien liegt eine einfache Matrixdarstellung für die Testprozedur nahe. Jede Zeile in der (binären) Matrix steht für einen Schalter und jede Spalte für einen Test. Die \(1\)en and \(0\)en in einer Spalte zeigen dann den AN/AUS-Status der Schalter während eines bestimmten Tests.
Für unser Beispiel mit \(n=6\) und \(m=7\) würde die \((6\times 7)-\)Matrix \(B\) in Tafel 1 zufällig erzeugte AN/AUS-Positionen der \(6\) Schalter bei den \(7\) Tests (Funktionsprüfungen) darstellen.
\(B=\left(\begin{array}{lllllll}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\)
Tafel 1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \(p(n,m)\) , dass jede Komponente nach \(m\) Tests mindestens einmal aktiviert wurde - in derselben Maschine in Szenario 1, oder in \(m\) Maschinen in Szenario 2 ?
Abschnitt 4 wird eine einfach zu evaluierende Formel für diese Wahrscheinlichkeit \(p(n,m)\) angeben. Für \(n=6\) und \(m=7\) erhalten wir \(p(6,7)\approx 0.9587\). Also reichen \(7\) Tests fast immer aus, um jeden Schalter mindestens einmal auf AN zu stellen.
Die benötigten binären Zufallszahlen können automatisch erzeugt werden; zahlreiche Standardprogramme enthalten ein dafür geeignetes Tool.
2. Überdeckungen
Das in Abschnitt 1 formulierte Problem lässt sich mit Überdeckungen von Mengen durch Teilmengen modellieren.
\(M = \{m_1,~...~,m_n\}\) möge für eine nummerierte Menge mit \(n\) Elementen stehen (z.B. \(m_3=\) grüne Lampe). Ein \(m-\)Tupel \((A_1,~...~,A_m)\) von nicht-leeren Teilmengen von \(M\) kann durch eine \((n\times m)-\)Matrix \(B\) mit Einträgen \(b_{ik}\) dargestellt werden, mit \(b_{ik} = 1\) for \(m_i \in A_k\) und ansonsten \(b_{ik} = 0\) . Die \(i-\)te Zeile von \(B\) zeigt also an (durch \(b_{ik} = 1\)) , welche Teilmengen \(A_k\) das Element \(m_i\) enthalten, und die \(k-\)te Spalte von \(B\) zeigt, welche Elemente von \(M\) auch in \(A_k\) liegen.
\((A_1,~...~,A_m)\) wird Überdeckung von \(M\) genannt, falls jede Zeile von \(B\) mindestens eine \(1\) enthält. (Man beachte, dass jede Spalte von \(B\) mindestens eine \(1\) enthält, da die \(A_k\) nicht-leer sind.)
In unserer QC-Anwendung definieren wir \(1=\) AN und \(0=\) AUS für die Stellungen der Schalter. Überdeckung bedeutet dann, dass jeder der \(n\) Schalter während der \(m\) Funktionsprüfungen mindestens einmal in AN-Stellung ist. Tafel 1 zeigt eine Überdeckung, da es keine reine \(0-\)Zeile gibt. Diese zufällige Auswahl von Schalterstellungen würde garantieren, dass jede Komponente der Maschine bei den Funktionsprüfungen mindestens einmal aktiviert wird. - \(B\) liefert eine komprimierte und formale Beschreibung für \(m\) Tests von \(n\) Komponenten.
3. Anzahl möglicher Überdeckungen
Die Anzahl \(u(n,m)\) aller Überdeckungen einer \(n-\)elementigen Menge \(M\) durch \(m\) nicht-leere Teilmengen ist gleich der Anzahl der \(m-\)Tupel \((A_1,... ,A_m)\) mit \(\bigcup A_k = M\) , d.h. \(M\) ist die Vereinigung der nicht-leeren Mengen \(A_k\) . Man beachte, dass die \(A_k\) in dieser Definition geordnet sind. \(u(n,m)\) wurde in diesem Blog in Beitrag # 10 berechnet. Dort finden wir das folgende Theorem:
\[\textbf{Theorem}~~~u(n,m) = \sum_{j=0}^m (-1)^{m-j} \binom{m}{j} (2^j-1)^n\]
4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass m Tests eine Überdeckung ergeben
Das Theorem lässt sich auch stochastisch formulieren. Wir wählen zufällig und unabhängig \(m\) nicht-leere Teilmengen von \(M\) - im QC-Kontext sind dies \(m\) zufällige Auswahlen von Schalterstellungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Teilmengen \(M\) überdecken? \(M\) hat \(2^n-1\) nicht-leere Teilmengen, also gibt es \((2^n-1)^m\) mögliche Auswahlen von (geordneten) Teilmengen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist somit
\[p(n,m) = \frac{u(n,m)}{(2^n-1)^m}\]
Das Theorem liefert nun das Hauptresultat dieses Beitrags. Wir formulieren es direkt für QC-Zwecke:
Die Wahrscheinlichkeit, dass nach \(m\) Funktionsprüfungen mit zufällig ausgewählten AN/AUS-Positionen für \(n\) Komponenten alle Komponenten mindestens einmal aktiviert worden sind, wird angegeben durch
\[p(n,m) = \frac{1}{(2^n-1)^m}\cdot \sum_{j=0}^m (-1)^{m-j} \binom{m}{j} (2^j-1)^n\]
Diese Formel lässt sich auf beide Szenarien aus Abschnitt 1 anwenden. Die komplementäre Wahrscheinlichkeit \(1-p(n,m)\) ist das Risiko, dass mindestens eine Komponente bei den Tests übergangen wird.
5. Implementierung in ein SPC-System
SPC umfasst eine Vielzahl von starken Tools, um statistische Nachweise für die Erfüllung von Qualitätskriterien zu liefern. Eines dieser Tools ist die Qualitätsregelkarte (engl. control chart). Die Ergebnisse dieses Beitrags lassen sich zu speziellen Qualitätsregelkarten, den Attributkarten, in Beziehung setzen (siehe [5; ch. 12]). Die Familie der Attributkarten deckt verschiedene Fälle der Stichprobennahme und der Qualitätsprüfung ab, die alle das dichotome Merkmal OK/Nicht-OK zur Grundlage haben. Für unsere Fragestellung erscheint die \(np-\)Karte am zweckmäßigsten. Diese Karte zeichnet die Anzahl defekter Teile in Stichproben konstanter Größe auf und passt daher zu beiden Szenarien in Abschnitt 1 (siehe [3; 3.3.4], [4; 4.4.1], [5; 12.24 - 12.28]). Im Rahmen der SPC erkennen wir die Zufallsauswahl der Schalterstellungen als einen naheliegenden - und oft erforderlichen - Weg zur Gewinnung statistischer Daten für Qualitätsregelkarten.
6. Bemerkungen
(a) Die Matrix \(B\) aus dem Beispiel in Tafel 1 ist mit den Matrizen verwandt, die im Design of Experiments (DoE) verwendet werden (siehe z.B. [2; Teil II]); dort wird ebenfalls eine Teilmenge der möglichen Kombinationen bestimmter Zustände ausgewählt.
(b) Die OEIS\(^{TM}\)-Datenbank enthält \(u(n,m)\) als Zahlenfolge OEIS A183109 \((1, 1, 7, 1, 25, 265, 1, 79, 2161, 41503, ...)\). Diese Folge wird generiert durch das "Dreieck" mit \(u(n,m)\) in der \(n\)-ten Zeile an \(m\)-ter Position, \(m = 1,~...~,n\) , und dann zeilenweise gelesen. Eine Konsequenz der Restriktion \(m \le n\) ist, dass das Beispiel in Abschnitt 1 nicht durch die OEIS-Folge abgedeckt wird. In einem solchen Fall macht man von der Symmetrie \(u(n,m)=u(m,n)\) Gebrauch. Dies ist bei der Berechnung von \(p(n,m)\) hilfreich, da man kleine \(m\) als oberen Summationsindex bevorzugen wird. Die Symmetrie ist leicht einzusehen, da binäre \((n\times m)-\)Matrizen ohne Null-Zeilen oder -Spalten vorliegen; unter Transposition ist die Anzahl dieser Matrizen gleich der Anzahl binärer \((m\times n)-\)Matrizen ohne Null-Zeilen oder -Spalten. - Ein Beispiel: Ein Aggregat mit \(n=4\) Komponenten wird gemäß Szenario 2 aus Abschnitt 1 getestet. Es soll das Risiko berechnet werden, eine Komponente (oder mehrere) während einer Testprozedur mit \(m=10\) aufeinanderfolgenden Funktionsprüfungen unbeachtet zu lassen. Dann ist es wesentlich einfacher, \(n\) und \(m\) zu vertauschen. Das gesuchte Risiko beträgt dann \(1-p(4,10)\approx 0.002\) .
7. Eine Anwendung; Tafeln
Wir nehmen das Beispiel aus Abschnitt 1, Szenario 1 wieder auf und nehmen nun \(m\) als Variable. Jede Maschine wird \(m-\)mal mit jeweils zufällig erzeugten Aktivierungen der \(n=6\) Komponenten getestet. Wir suchen ein für die Anwendung genügend kleines \(m\) . \(p(6,m)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Komponente mindestens einmal aktiviert wird. Die Werte stehen in Tafel 2.
m p(6,m) m p(6,m)
1 0.0159 6 0.9175
2 0.1832 7 0.9587
3 0.4618 8 0.9795
4 0.6935 9 0.9899
5 0.8381 10 0.9950
Tafel 2 - Wahrscheinlichkeiten für die Abdeckung von \(6\) Komponenten für \(m=1,~...~,10\) zufällige Prüfungen
Was bedeutet \(m\) "genügend klein"? Wir können Tafel 2 als Liste von Konfidenzgrenzen lesen: Für die mindestens einmalige Aktivierung aller Komponenten gibt \(m = 7\) eine \(95\%-\)Konfidenz und \(m = 10\) eine \(99\%-\)Konfidenz an.
Qualitätsingenieure werden sich auch für eine verdichtete Darstellung der Konfidenzen unter Vermeidung der Evaluation von \(p(n,m)\) interessieren. Tafel 3 stellt die minimal notwendigen \(m\) für zwei Konfidenzstufen als Funktion der Komponentenanzahl \(n\) zur Verfügung. Als Faustregel scheinen \(m=10\) Tests für nicht-hochkomplexe Aggregate auszureichen. Tafel 3 zeigt auch, dass für Aggregate mit wenigen Komponenten kleinere \(m\) genügen. - Andererseits mag die Prüfung jeder Komponente in AN-Stellung innerhalb eines Testzyklus nicht das einzige Ziel der SPC sein. Es soll daran erinnert werden, dass die in diesem Artikel beschriebene Prozedur nur eine kleine Auswahl der möglichen Schalterstellungen prüft. Falls es sehr viele Interaktionen zwischen den Komponenten gibt, ist es ratsam, \(m\) zu erhöhen.
n m (95%) m (99%)
2 4 5
3 5 7
4 6 8
5 7 9
6 7 10
7 - 10 8 10
11 - 13 8 11
14 - 20 9 11
21 - 26 9 12
27 - 41 10 12
42 - 52 10 13
53 - 82 11 13
83 - 105 11 14
106 - 150 12 14
Tafel 3 - Minimale Anzahl \(m\) von Tests, die für \(n\) Komponenten benötigt werden; für Konfidenzniveaus \(95\%\) und \(99\%\) , \(n=2,~...~,150\)
Quellen
[1] Lehrbuch für die Grundlagen der Kombinatorik: Aigner, M.: Combinatorial Theory (Springer, Berlin, 2013)
[2] Allen, T.: Introduction to Engineering Statistics and Six Sigma (Springer, London, 2006)
[3] Dietrich, E., Schulze, A.: Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation (Hanser, München, 2. Aufl. 1996)
[4] Joglekar, A.: Statistical Methods for Six Sigma (Wiley, Hoboken, 2003)
[5] Pyzdek, T.: The Six Sigma Handbook (McGraw-Hill, New York, 2003)
[6] Thompson, J., Koronacki, J.: Statistical Process Control for Quality Improvement (New York, Chapman and Hall, 2001)
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Stand 2020-10-30
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