MB Matheblog # 21 | Inhalt Blog voriger Eintrag nächster Eintrag |
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Schatten fällt auf |
Richtung des Schattens |
Richtung der Sonne |
Wann sichtbar?
(Festes φ, δ ∈[-23,44°, 23,44°]) |
Wo sichtbar?
(Festes δ) |
0° | Süd | Nord | mittags für δ ∈(φ, φ+90°]
mitternachts für δ ≥90°-φ (nur im Nordpolarsommer, → Formel (50)) |
φ ∈[δ-90°, δ)
φ ≥ 90°-δ (→ Formel (63)) |
90° | West | Ost | morgens im Sommerhalbjahr | φ mit gleichem Vorzeichen wie δ |
180° | Nord | Süd | mittags für δ ∈[φ-90°, φ)
mitternachts für δ ≤-φ-90° (nur im Südpolarsommer, → Formel (50)) |
φ ∈(δ, δ+90°]
φ ≤ -δ-90° (→ Formel (63)) |
270° | Ost | West | abends im Sommerhalbjahr | φ mit gleichem Vorzeichen wie δ |
(I)
Stabhöhe = 1 Eingabe φ : Breitengrad A : Himmelsrichtung (Azimut, wie in Tabelle 1) b : Länge des Stabschattens Ausgabe τ : Uhrzeit δ : Deklination der Sonne (Umrechnung in ein Datum siehe → Tabelle) h : Höhenwinkel der Sonne τ = arccot(cot A sin φ - tan h cos φ / sin A) in Grad, siehe (38) +180° für A > 180° δ = arcsin(cos h cos A cos φ + sin h sin φ) siehe (46) Mit h = arccot b (siehe Bild 1) erhalten wir: τ = arccot(cot A sin φ - cos φ / (b·sin A)) / 15 in Stunden umgerechnet; 1h = 15° +12 für A > 180° δ = arcsin(cos(arccot b) cos A cos φ + sin(arccot b) sin φ) Umrechnung in ein Datum siehe → Tabelle. |
φ | A | b | τ | δ | Datum ca. |
50° | 195° | 0,75 | 12:37 | 13,9° | 28.4. 16.8. |
71° | 109° | 1,7 | 07:51 | 22,8° | 8.6. 5.7. |
19° | 153,3° | 0,53 | 11:11 | -6,2° | 5.3. 9.10. |
-31° | 93° | 1,05 | 08:33 | -22,8° | 9.12. 4.1. |
(II) Erste Vorbereitung für das Zifferblatt
Stabhöhe = 1 Eingabe φ : Breitengrad τ : Tageszeit in Grad (1h = 15°, gerechnet seit Mitternacht δ : Deklination der Sonne (Umrechnung aus einem Datum siehe → Tabelle) Ausgabe A : Himmelsrichtung des Stabschattens (Azimut, wie in Tabelle 1) h : Höhenwinkel der Sonne A = arccot(cot τ sin φ + tan δ cos φ / sin τ) in Grad, siehe (27) +180° für τ > 180° h = arcsin(-cos δ cos τ cos φ + sin δ sin φ) siehe (21) |
(III) Zweite Vorbereitung für das Zifferblatt: Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten
Mit (I) gilt für b (Länge des Stabschattens, siehe Bild 1): b = cot h Koordinaten für die Schattenspitze: (b, A) Polarkoordinaten (b cos A, b sin A) kartesische Koordinaten |
(IV) Kurven auf dem Zifferblatt
Mit b und A aus (II) und (III) erhalten wir für festes φ : (b cos A, b sin A) ist für festes δ eine Parameterkurve mit τ als unabhängiger Variable. Diese Kurve zeigt für eine bestimmte Deklination δ an, welchen Weg die Schattenspitze im Laufe eines Tages nimmt. Das gilt nur näherungsweise, da sich die Deklination im Laufe eines Tages geringfügig verändert. – In Bild 3 erkennt man diese Kurven als die sieben Linien, die vom oberen Rand zum unteren Rand laufen; die linke Kurve steht für den Winteranfang mit δ = -23,44°, wenn die Schatten am längsten sind. (b cos A, b sin A) ist für festes τ eine Parameterkurve mit δ als unabhängiger Variable. Diese Kurve zeigt für eine bestimmte Uhrzeit τ an, auf welchem Weg die Schattenspitze im Jahresverlauf wandert. – In Bild 3 sind das die Strecken, die fächerförmig auf einen Punkt hinter dem Gnomon zulaufen. Insgesamt sehen wir dort 11 dieser Strecken; sie stehen für die vollen Stunden von 07:00 Uhr bis 17:00 Uhr. |
(V) Welche
δ-Linien kann man aufzeichnen?
Alle δ entfallen, für die die Sonne ganztägig unter oder auf dem Horizont steht. Nach (50) ist das nur in der Nordpolarregion für δ ≤ φ - 90° und in der Südpolarregion für δ ≥ φ + 90° der Fall. Also gilt für δ ∈ [-23,44°, 23,44°]: • δ-Linien Nordhalbkugel: δ > φ - 90° • δ-Linien Südhalbkugel: δ < φ + 90° |
(VI) Welche
τ-Linien kann man aufzeichnen?
Für den Sonnenaufgang τ0 gilt nach (41), außer an den Polen: cos τ0 = tan δ tan φ Auf der Nordhalbkugel wird somit das früheste τ0 für δ = 23,44° erreicht. Das kann aber nur gelten, wenn φ < 66,56°, da cos τ0 ≤ 1; ansonsten gibt es keinen Sonnenaufgang (Nordpolarsommer). • τ-Linien Nordhalbkugel: φ < 66,56°: τ ∈ (arccos(tan 23,44° tan φ), 360° - arccos(tan 23,44° tan φ)) φ = 66,56°: Alle τ-Linien kommen vor, außer für τ = 0°. φ > 66,56°: Alle τ-Linien kommen vor. Dies gilt auch für den Nordpol. Aus Symmetriegründen erhalten wir: • τ-Linien Südhalbkugel: φ > -66,56°: τ ∈ (arccos(tan -23,44° tan φ), 360° - arccos(tan -23,44° tan φ)) φ = -66,56°: Alle τ-Linien kommen vor, außer für τ = 0°. φ < -66,56°: Alle τ-Linien kommen vor. |
(VII) Welche
δ-Linien sind endlich?
Das kann nur vorkommen, wenn für eine Deklination δ die Sonne ganztägig über dem Horizont steht. Nach (50) gilt für δ ∈ [-23,44°, 23,44°]: • Endliche δ-Linien Nordhalbkugel: δ > 90° - φ • Endliche δ-Linien Südhalbkugel: δ < -90° - φ |
(VIII) Welche
τ-Linien sind endlich?
Das kann nur vorkommen, wenn der Sonnenaufgang ganzjährig früher als τ liegt. Dies ist auf der Nordhalbkugel gleichbedeutend damit, dass für δ=-23,44° die Sonne zum Zeitpunkt τ über dem Horizont steht. Analog zu (VI) gilt dann für denn Sonnenaufgang τ0: cos τ0 = tan -23,44° tan φ ≥ -1; sinnvoll nur für φ < 66,56°; ansonsten gibt es keinen Sonnenaufgang (Nordpolarwinter). • Endliche τ-Linien Nordhalbkugel: φ < 66,56° ∧ τ ∈ (arccos(tan -23,44° tan φ), 360° - arccos(tan -23,44° tan φ)) Aus Symmetriegründen erhalten wir: • Endliche τ-Linien Südhalbkugel: φ > -66,56° ∧ τ ∈ (arccos(tan 23,44° tan φ), 360° - arccos(tan 23,44° tan φ)) |
(IX) Definitionsbereich für die
δ-Linien
Wir halten in der Parameterdarstellung (b cos A, b sin A) in (IV) eine Deklination δ aus (V) fest (und bestimmen diejenigen Tageszeiten τ, bei denen die Sonne auf dem Breitengrad φ über dem Horizont steht. Nach (50) steht die Sonne im Nordpolarsommer bei δ ≥ 90° - φ ganztägig über dem Horizont (bei "=" um Mitternacht auf dem Horizont). Ansonsten berechnet man die Zeitpunkte τ0 und τ1 für Sonnenauf- und -untergang nach (41) wie folgt: τ0 = arccos(tan δ tan φ) τ1 = 360° - arccos(tan δ tan φ) • Definitionsbereich für δ-Linien Nordhalbkugel: δ < 90° - φ : τ ∈ (τ0, τ1) δ ≥ 90° - φ : τ ∈ [0°, 360°) 0° entfällt bei "=". Aus Symmetriegründen erhalten wir: • Definitionsbereich für δ-Linien Südhalbkugel: δ > -90° - φ : τ ∈ (τ0, τ1) δ ≤ -90° - φ : τ ∈ [0°, 360°) 0° entfällt bei "=". |
(X) Definitionsbereich für die
τ-Linien
Wir halten in der Parameterdarstellung (b cos A, b sin A) in (IV) eine Tageszeit τ aus (VI) fest und bestimmen diejenigen Deklinationen δ, bei denen die Sonne auf dem Breitengrad φ über dem Horizont steht. φ = 0° (Äquator) und φ = ±90° (Pole) werden weiter unten gesondert behandelt. Auf dem Breitengrad φ geht für δ = arctan(cos τ cot φ) die Sonne zur Uhrzeit τ auf bzw. unter (siehe (8), mit h = 0). Auf der Nordhalbkugel steht für alle größeren Deklinationen die Sonne höher am Himmel. Da nur δ ∈ [-23,44°, 23,44°] vorkommt, ist die Untergrenze des Definitionsintervalls gleich max{-23,44°, arctan(cos τ cot φ)}. • Definitionsbereich für τ-Linien Nordhalbkugel: cos τ < tan -23,44° tan φ : δ ∈ [-23,44°, 23,44°] Das sind genau diejenigen τ, die nach (VIII) zu einer endlichen τ-Linie gehören. cos τ ≥ tan -23,44° tan φ : δ ∈ (arctan(cos τ cot φ), 23,44°] Aus Symmetriegründen erhalten wir: • Definitionsbereich für τ-Linien Südhalbkugel: cos τ < tan 23,44° tan φ : δ ∈ [-23,44°, 23,44°] Das sind genau diejenigen τ, die nach (VIII) zu einer endlichen τ-Linie gehören. cos τ ≥ tan 23,44° tan φ : δ ∈ [-23,44°, arctan(cos τ cot φ)) • Äquator: Aus (VI) folgt cos τ < 0. Nach (8) mit φ = 0° und h > 0° gilt dann, dass alle δ erlaubt sind: δ ∈ [-23,44°, 23,44°] • Nordpol: Aus h > 0 folgt mit (8), dass δ > 0 : δ ∈ (0°, 23,44°] • Südpol: Aus h > 0 folgt mit (8), dass δ < 0 : δ ∈ [-23,44°, 0°) |
φ | δ (≤ 23,44°) | endl. δ-Linien | Def.ber. δ-Linien | τ D1 = |
endl. τ-Linien D2 = |
Def.ber. τ-Linien (δ ≤ 23,44°)
τ ∈ D2: δ ≥ -23,44° τ Rd.pkt.von D2: δ > -23,44° τ ∈ D1∖D2: |
|
90° | > 0° | > 0° | τ ∈ [0°, 360°) = [00:00, 24:00) | [0°, 360°)
= [00:00, 24:00) |
— | δ > 0° | Nordpol siehe Bild 6 |
75° | > -15° | > 15° | δ > 15°: τ ∈ [0°, 360°) = [00:00, 24:00)
δ = 15°: τ ∈ (0°, 360°) = (00:00, 24:00) δ < 15°: τ ∈ (arccos(3,732·tan δ), 360°- arccos(3,732·tan δ)) |
[0°, 360°) = [00:00, 24:00) |
— | δ > arctan(0,268·cos τ) | 2 + √3 ≈ 3,732 2 - √3 ≈ 0,268 siehe Bild 6 |
60° | ≥ -23,44° | — | τ ∈ (arccos(1,732·tan δ),
360°- arccos(1,732·tan δ)) |
(41,33°, 318,67°)
≈ (02:45, 21:15) |
(138,67°, 221,33°)
≈ (09:55, 14:45) |
δ > arctan(0,577·cos τ) | √3 ≈ 1,732 1/√3 ≈ 0,577 siehe Bild 5 |
51°34' | ≥ -23,44° | — | τ ∈ (arccos(1,260·tan δ),
360°- arccos(1,260·tan δ)) |
(56,88°, 303,12°)
≈ (03:48, 20:12) |
(123,12°, 236,88°)
≈ (08:12, 15:48) |
δ > arctan(0,794·cos τ)
δ ≤ 23,44° wurde nicht eingehalten. |
Hoheward siehe Bild 3 |
50° | ≥ -23,44° | — | τ ∈ (arccos(1,192·tan δ),
360°- arccos(1,192·tan δ)) |
(58,89°, 301,11°)
≈ (03:56, 20:04) |
(121,11°, 238,89°)
≈ (08:04, 15:56) |
δ > arctan(0,839·cos τ) | siehe Bild 4 |
30° | ≥ -23,44° | — | τ ∈ (arccos(0,577·tan δ),
360°- arccos(0,577·tan δ)) |
(75,50°, 284,50°)
≈ (05:02, 18:58) |
(104,50°, 255,50°)
≈ (06:58, 17:02) |
δ > arctan(1,732·cos τ) | 1/√3 ≈ 0,577 √3 ≈ 1,732 siehe Bild 5 |
15° | ≥ -23,44° | — | τ ∈ (arccos(0,268·tan δ),
360°- arccos(0,268·tan δ)) |
(83,33°, 276,67°)
≈ (05:33, 18:27) |
(96,67°, 263,33°)
≈ (06:27, 17:33) |
δ > arctan(3,732·cos τ) | 2 - √3 ≈ 0,268 2 + √3 ≈ 3,732 siehe Bild 7 |
0° | ≥ -23,44° | — | τ ∈ (90°, 270°) = (06:00, 18:00) | (90°, 270°) = (06:00, 18:00) |
(90°, 270°) = (06:00, 18:00) |
Ausnahme: τ ∈ D1: δ ≥ -23,44° |
Äquator siehe Bild 7 |
-50° | ≥ -23,44° | — | τ ∈ (arccos(-1,192·tan δ),
360°- arccos(-1,192·tan δ)) |
(58,89°, 301,11°)
≈ (03:56, 20:04) |
(121,11°, 238,89°)
≈ (08:04, 15:56) |
Ausnahmen: Rd.pkt. D2: δ ∈ [-23,44°, 23,44°) τ ∈ D1∖D2: δ∈[-23,44°,arctan(-0,839·cos τ)) |
siehe Bild 4 |
Stand 2021-12-19
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