| Manfred Börgens Mathematische Probleme # 46 |
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Unter den zahlreichen Varianten der Nim-Spiele ist die folgende wohl etwas weniger bekannt, dafür aber besonders reizvoll. Zunächst wird ein konkretes Spiel formuliert; es ist die beste Strategie für die Spieler herauszufinden.
Auf dem Tisch liegen 17 Spielsteine. Zwei Spieler nehmen immer abwechselnd Steine fort, wobei sie sich jedesmal neu entscheiden können, ob sie einen Stein, zwei Steine oder drei Steine nehmen. Gewonnen hat derjenige Spieler, der am Ende eine ungerade Anzahl von Steinen hat.
Da es sich um ein Spiel mit nur endlich vielen Möglichkeiten handelt, das außerdem keine Unentschieden erlaubt, kann es nur zwei Möglichkeiten geben, wenn beide Spieler (der "Anziehende" und der "Nachziehende") keinen Fehler machen: Entweder gewinnt immer der Anziehende oder immer der Nachziehende. Allerdings sollte man sich auch auf die Situation einstellen, dass der Gegner nicht fehlerfrei spielt, d.h. auch für alle Zwischenpositionen (wenn also weniger als 17 Spielsteine auf dem Tisch liegen) sollte man den optimalen Zug kennen.
Für dieses Spiel lautet die naheliegende Verallgemeinerung:
Auf dem Tisch liegen no Spielsteine. Zwei Spieler nehmen immer abwechselnd maximal m Steine fort. Gewonnen hat derjenige Spieler, der am Ende eine ungerade Anzahl von Steinen hat. Klar ist, dass no ungerade sein muss.