Problem des Monats März 2003

Pingelige Menschen (also auch Mathematiker) wollen immer alles ganz genau wissen. Wenn sie etwa einen Bruch mit dem Taschenrechner als Dezimalzahl ausgeben, also z.B.


 Beispiel 1

dann wüssten sie gerne, wie es hinter der letzten  1  weitergeht. Selbst diese letzte  1  ist nicht sicher, da sie vom Taschenrechner gerundet sein könnte.

Mein Taschenrechner kann  10  Stellen ausgeben, so wie in Beispiel 1. Deshalb werden auch alle weiteren Rechnungen so dargestellt. Bei manchen Brüchen ahnt man (oder weiß man), wie das vollständige Ergebnis lautet:


 Beispiel 2


 Beispiel 3a

In Beispiel 2 erhält man eine abbrechende Dezimalzahl, und alle Dezimalstellen werden auch ausgegeben; in Beispiel 3a erhält man eine periodische Dezimalzahl:


 Beispiel 3b

Die Hauptfrage dieses Monatsproblems lautet:

Für welche Brüche kann man auf dem Taschenrechner die vollständige Dezimalentwicklung ablesen?

Diese Frage soll später noch präzisiert werden.
Es reicht offenbar aus, nur positive und maximal gekürzte Brüche zu betrachten, die zudem kleiner als  1  sind, d.h.  a / b  mit  a, b  teilerfremde natürliche Zahlen und  a < b .

Jeder dieser Brüche hat in seiner Dezimaldarstellung einen nichtperiodischen Abschnitt hinter dem Komma mit der Vorperiodenlänge  h  und dahinter einen periodischen Teil mit der Periodenlänge  j. In Beispiel 3b ist  h = 1  und  j = 2. Ist  h = 0 , so ist  a / b  eine reinperiodische Dezimalzahl, ist  j = 0, so ist  a / b  eine abbrechende Dezimalzahl. Alle anderen Brüche heißen gemischtperiodisch.

Eine vorbereitende Aufgabe in diesem Monatsproblem ist es, anhand von Beispielen einen Satz darüber zu formulieren, wie  h  und  j  aus  a / b  bestimmt werden können:


 Beispiel 4


 Beispiel 5a


 Beispiel 5b


 Beispiel 5c


 Beispiel 5d

Man vergleiche in den Beispielen 5a-d die Nenner! Welche Vermutung ergibt sich daraus für die Vorperiodenlänge? (Für eine kleine Hilfestellung finden Sie hier Hinweis 1.) Die Brüche sind in den Beispielen 4 und 5a-d jeweils im ersten Schritt umgewandelt worden, um eine Vermutung für die Periodenlänge zu erleichtern. (Für eine kleine Hilfestellung finden Sie hier Hinweis 2.) Welchen Einfluss hat der Zähler auf Vorperiodenlänge und Periodenlänge? Rechnen Sie selbst weitere Beispiele! So erhalten Sie die Antwort auf die folgende Frage:

Welche Vorperiodenlänge und welche Periodenlänge hat  a / b ?
Frage 1

(Sie können hier den entsprechenden Lehrsatz nachlesen, um Ihre Vermutung zu überprüfen und ein weiteres Beispiel zu sehen.)

Nun zurück zur Ausgangsfrage. Wenn Vorperiodenlänge oder Periodenlänge zu groß sind, passen nicht alle relevanten Dezimalstellen auf ein Taschenrechnerdisplay. Aber welche Brüche erlauben eine vollständige Darstellung, wenn nur  10  Ziffern zur Verfügung stehen?

Zunächst sollte man darauf achten, keine Dezimalstellen zu verschenken:


 Beispiel 6a

Die Taschenrechnerausgabe in Beispiel 6a lässt sich verbessern, indem man z.B. mit  10 ¹¹  multipliziert:


 Beispiel 6b

Dies soll zeigen, dass man durch geeignete Multiplikation mit einer Zehnerpotenz immer alle  10  Stellen des Taschenrechners ausnutzen kann. Aber Vorsicht: Die letzten beiden Stellen sind gerundet. Diese Rundung lässt sich erkennen, wenn man vorher ermittelt hat, dass die Vorperiodenlänge  2  und die Periodenlänge  3  ist.

Nun lässt sich die Ausgangsfrage konkretisieren:

Für welche Nenner  b  ist für alle Zähler  a  der Bruch  a / b  eine abbrechende Dezimalzahl und vollständig mit dem Taschenrechner darstellbar? Wie viele solcher Nenner gibt es?
Frage 2

Für welche Nenner  b  ist für alle Zähler  a  der Bruch  a / b  eine reinperiodische Dezimalzahl und vollständig mit dem Taschenrechner darstellbar? Wie viele solcher Nenner gibt es?
Frage 3

Für welche Nenner  b  ist für alle Zähler  a  der Bruch  a / b  eine gemischtperiodische Dezimalzahl und vollständig mit dem Taschenrechner darstellbar? Wie viele solcher Nenner gibt es?
Frage 4

Wie stellt man allgemein für einen Bruch  a / b  fest, ob und wie er vollständig mit dem Taschenrechner als Dezimalzahl darstellbar ist? Gegenüber Fragen 2-4 erhält man noch weitere Nenner, wenn  a  klein genug ist.
Frage 5

Welche sind die kleinsten Nenner, für die der Taschenrechner nicht mehr für alle Zähler ein vollständiges Ergebnis ausgeben kann?
Frage 6

Welche sind die kleinsten Nenner, für die der Taschenrechner nicht mehr für irgendeinen Zähler ein vollständiges Ergebnis ausgeben kann?
Frage 7

Lösung

Die Antwort auf Frage 1 wurde schon als Lehrsatz angegeben.

Frage 2

Antwort:  b = 2 ^q · 5 ^r  mit  q = 0 ... 10  und  r = 0 ... 10. Da vereinbart war, dass  0 < a < b  sein soll, können nicht  q  und  r  beide  0  sein. Also erfüllen 120 verschiedene Nenner die Anforderungen:

2, 4, 5, 8, 10, ... , 5.000.000.000, 10.000.000.000

Beispiele:

997 / 1250 = 0,7976     (4 Nachkommastellen wegen  1250 = 2 ¹ · 5 ⁴ )

111 / 2.000.000.000 = 0,000.000.055.5
(10 Nachkommastellen wegen 2.000.000.000 = 2 ¹⁰ · 5 ⁹, aber Vorsicht: der Taschenrechner gibt die letzte 5 nicht aus, wenn man nicht vorher mit einer Zehnerpotenz multipliziert hat.)

Frage 3

Antwort: Alle Nenner  b  kommen in Frage, die Teiler von 9 oder 99 oder 999 ... oder 9.999.999.999 sind. Ein kleines Programm ermittelt dafür genau 168 Zahlen, wie die folgende Tabelle zeigt:

Frage 4

Antwort: Es kommen die Vorperiodenlängen  h = 1, 2, ... , 9  in Frage. Für jedes dieser  h  darf die Periodenlänge  j = 1, ... , 10 - h  betragen.

Sind  q  und  r  wie im Lehrsatz , also  b = 2 ^q · 5 ^r · b ₁ , so ist  h = max { q , r }. Ist  h  gegeben, muss  q  oder  r  gleich  h  sein. Dafür gibt es  2h + 1  Möglichkeiten. Mit den Werten für  b ₁  aus der Tabelle zu Frage 3 erhält man:



Ein Beispiel für  h = 6 : Der Nenner von  a / b = 113 / 177600  ist gleich  2 ⁶ · 5 ² · 111. Also ist die Vorperiodenlänge  h = 6  und die Periodenlänge  j = 3  (siehe Tabelle zu Frage 3). Wegen  j < 10 - h  lässt sich  a / b  mit dem Taschenrechner darstellen:



Zusammen mit den Ergebnissen aus den Fragen 2 und 3 erhält man also 3375 verschiedene Nenner  b, für die alle relevanten Dezimalstellen von  a / b  (a beliebig) auf einem 10-stelligen Taschenrechner abgelesen werden können.

Frage 5

Antwort: Bei den Fragen 2 - 4 wurden nur diejenigen Nenner  b  behandelt, für die bei beliebigen Zählern  a  alle relevanten Dezimalstellen von  a / b  vom Taschenrechner dargestellt werden können. Für genügend kleine  a  jedoch beginnen die Nachkommastellen von  a / b  mit Nullen, die der Taschenrechner "überspringen" kann. Das Verfahren liegt auf der Hand: Findet man  m  führende Nullen hinter dem Komma, so darf  h + j  bis zu  10 + m  betragen, um  a / b  noch vollständig darstellen zu können (natürlich nur, falls  b  maximal 10-stellig ist, sonst kann man  b  nicht eingeben).

Das lässt sich formalisieren:

1. Fall:  m < h + 1  (d.h. alle führenden Nullen gehören zur Vorperiode)
Multiplikation von  a / b  mit  10 ^10 + m  ergibt die  h - m  Nicht-Null-Stellen der Vorperiode und dahinter die  j  Stellen der Periode (evtl. mit gerundeter letzter Stelle).

2. Fall:  m > h  (d.h. falls es eine Vorperiode gibt, besteht sie nur aus Nullen und die Periode beginnt mit genau  m - h  Nullen)
Multiplikation von  a / b  mit 10 ^10 + m  ergibt die  j - m + h  Nicht-Null-Stellen der Periode.

Beispiele:

a)  Für  a = 1  kann man bei abbrechenden Dezimalzahlen (d.h. 1. Fall mit  j = 0) immerhin bis  h = 14  mit den 10 Stellen des Taschenrechners auskommen.
Ist etwa  b = 8192 = 2 ¹³ , so gibt der Taschenrechner  m = 3  Nachkomma-Nullen aus. Somit ist  h + j = 10 + m ; eine Multiplikation mit 10 ¹³ ergibt auf dem Taschenrechner alle  h - m = 10  Dezimalstellen, die auf die führenden Nullen folgen:

1.E13 / 8192 = 1.220.703.125

Das Ergebnis lautet also:

1 / 8192 = 0,000.122.070.312.5

b)  Auch Brüche mit sehr großen Zählern und Nennern lassen sich manchmal auf die beschriebene Weise darstellen:
9.780.451 / 195.312.500 = 9.780.451 / (2 ² · 5 ¹¹ ) = 0,05... , also ist  h = 11 , j = 0 , m = 1 . Der Taschenrechner gibt aus (nach Kürzung durch 100):

1.E9 · 9.780.451 / 1.953.125 = 5.007.590.912 ,

somit lautet das Ergebnis  0,050.075.909.12 .

c)  Ein gemischtperiodischer Bruch ist  43 / 2016 = 43 / (2 ⁵ · 63). Bei Frage 3 wurde festgestellt, dass 63 zu einer Periodenlänge  j = 6  führt. Wegen  43 / 2016 = 0,02...  ist  m = 1  und wieder  h + j = 10 + m . Der Taschenrechner gibt aus:



Da die Periode mit einer 9 beginnt, muss die letzte Ziffer aufgerundet sein. Man erhält das Ergebnis



d)  1 / 1313 = 0,0007...  ist reinperiodisch mit  m = 3 . Der Nenner 1313 führt auf eine Periodenlänge  j = 12 . Hier ist  h + j = 9 + m . Man erhält:



und somit lautet das Ergebnis

Frage 6

Antwort: Aus den Antworten zu den Fragen 2 - 4 entnimmt man, dass 17 der kleinste Nenner  b  ist, für den man  a / b  nicht mehr auf dem Taschenrechner darstellen kann (Periodenlänge  j = 16). Für Nenner bis 50 entfallen weitere 10 Zahlen:  19, 23, 29, 31, 34, 38, 43, 46, 47, 49 .

Frage 7

Antwort: Dies sind für Nenner bis 50 die gleichen Zahlen wie bei Frage 6. Denn selbst wenn der Zähler  a = 1  ist, ist lediglich  m = 1 , also interessiert hier nur der Fall  h + j = 11  (siehe Frage 5); dieser tritt aber bei den Nennern aus Frage 6 nicht auf. Dies gilt auch dann, wenn man in Frage 6 Nenner bis 200 untersucht.

Man hat aber bei Beispiel d) zu Frage 5 gesehen, dass die Zahlenfolgen für die Fragen 6 und 7 nicht gleich sein können. Der kleinste Nenner, der in der Zahlenfolge für Frage 6 vorkommt, nicht jedoch für Frage 7, ist  224 = 2 ⁵ · 7  mit  h = 5  und  j = 6 .

Zur Geschichte der Dezimaldarstellung

Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π