Problem des Monats Mai 2002

Das folgende Problem lässt sich wohl nur lösen, indem man ein kleines Programm schreibt. Es soll eine Zahlenfolge mit dem folgenden Anfang berechnet werden:

223, 17, 50, 25, 29, 85, 89, ...

Denken Sie erst nach, ehe Sie weiterlesen, vielleicht erkennen Sie das Bildungsgesetz der Folge.

Die eigentliche Aufgabe besteht aber nicht darin, das Bildungsgesetz herauszufinden, deshalb wird es hier sofort verraten: Der Startwert ist beliebig (wir wollen uns aber auf natürliche Zahlen unter 1000 beschränken); jede weitere Zahl ist dann die Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern ihres Vorgängers.

Durch diese Regel bleibt die Folge immer im Bereich der maximal dreistelligen natürlichen Zahlen. Deshalb ist klar, dass bei jedem Startwert nach der Berechnung einiger (evtl. vieler) Folgenglieder eine Zahl erscheinen muss, die schon einmal vorgekommen ist, und dann kann man aufhören, weil sich eine zyklische Wiederholung von Folgengliedern einstellt.

Hobby-Programmierer (möglicherweise auch Profis) haben jetzt vielleicht Spaß daran, etwas über die Eigenschaften dieser merkwürdigen Folge herauszufinden:

1.
Falls eine Folge bei der 1 angelangt ist, folgen nur noch Einsen nach, z.B.
973, 139, 91, 82, 68, 100, 1, 1, 1, ...
Gibt es außer der 1 noch weitere Zahlen, die auf sich selbst folgen?

2.
Welche anderen Wiederholungsmuster treten noch auf außer
1, 1, 1, ...
..., 10, 1, 1, 1, ...
..., 100, 1, 1, 1, ... ?

3.
Wegen  9 ² + 9 ² + 9 ² = 243  sind alle Folgenglieder außer dem Startwert kleiner als 244. Welches ist die höchste Zahl, die mehr als einmal in der Folge vorkommen kann?

4.
Einige Folgen münden sehr schnell in eine Wiederholung:
13, 10, 1, 1, 1, ...
Andere brauchen viel länger; probieren Sie z.B. den Startwert 121.
Wie lang ist der längste "Weg" einer Folge, bis eine Wiederholung auftritt?

5.
Welche "Wiederholungszahl" wird am häufigsten erreicht?

6.
Stellen Sie die möglichen Wiederholungsmuster zusammen mit den auftretenden Weglängen bis zur ersten Wiederholung übersichtlich dar.

7.
Was ändert sich, wenn beliebig große Startwerte zugelassen werden?

Lösung



Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π