Problem des Monats April 2001

English version

Professor O. macht einen Raumflug. Er landet auf einem fernen Planeten und wird dort von den Bewohnern freundlich aufgenommen. Schon bald gelingt eine Verständigung, und O. besucht in einer Schule eine Mathematikstunde. Der Lehrer hat gerade eine Rechnung an die Tafel geschrieben:



O. bittet den Lehrer, ihm zu erklären, was die einzelnen Symbole in der Rechnung bedeuten. Striche zu zählen erweist sich dafür als die beste intergalaktische Verständigungsmethode. Auf der nächsten Tafel sieht man ein paar Beispiele dafür:



Als O. alle Symbole auf der Tafel verstanden hat, schreibt er die Rechnung in den ihm am besten vertrauten arabischen Ziffern hin:



Professor O. versteht diese Rechnung nicht, und er bittet seinen Kollegen Professor S., der sich gut in Zahlentheorie auskennt, per Funk um Hilfe. S. ist ein bisschen gemein und verrät O. nicht die Lösung, sondern gibt ihm nur einen Ratschlag: "Zählen Sie doch mal die Finger Ihrer Gastgeber!" O. folgt diesem Rat. Was stellt er fest?

Lösung

Professor S. vermutet, dass die Außerirdischen zwar ein Stellenwertsystem wie wir verwenden, aber mit einer anderen Basis als  10 . Das heißt, dass z.B. die Zahl  239  auf der Tafel nicht  9 + 3·10 + 2·10²  bedeutet, sondern  9 + 3·b + 2·b²  mit einer noch unbekannten Basis  b . (Wenn S.'s Vermutung stimmt, dann ist  b  die Anzahl der Finger von O.'s Gastgebern.)

Die Rechnung auf der Tafel erhält so die Form

( 9 + b² )·( 9 + 3·b + 2·b² ) = 9 + 6·b + 4·b² + 4·b³ + 2·b⁴

oder kürzer

b³ - 23·b² - 21·b - 72 = 0

Diese kubische Gleichung kann man (zur Not auch von Hand) vollständig lösen. Etwas einfacher geht es so: Man kann davon ausgehen, dass es (mindestens) eine ganzzahlige Lösung  b  gibt (nämlich die Anzahl der Finger der Außerirdischen). Dann kommt man durch Probieren zum Ziel, denn es ist bekannt, dass  b  ein Teiler des konstanten Summanden sein muss, also hier von  -72 .

Lösung der kubischen Gleichung:  b = 24 .

Dies ist die einzige reelle Lösung, außerdem gibt es noch zwei komplexe Lösungen, die für unser Problem nicht von Interesse sind.

Setzt man  b = 24  in die Rechnung auf der Tafel ein, so erhält man im Dezimalsystem die richtige Multiplikation

585·1233 = 721305

Wie konnte S. wissen, dass die Außerirdischen ihre Zahlen von links nach rechts mit absteigenden Potenzen von  b  schreiben (so wie wir) und nicht umgekehrt? Er konnte es gar nicht wissen, sondern hat beide Varianten durchprobiert. Für aufsteigende Potenzen findet man keine ganzzahlige Lösung.

Professor O. stellte in der Tat fest, dass seine außerirdischen Gastgeber  24  Finger besaßen.



Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π