Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 119
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Tombola


Am Ende dieser Seite wird ein allgemeines Problem formuliert. Wir wollen uns diesem Problem zunächst durch ein konkretes Beispiel nähern.

Die Jugendabteilung eines Vereins für Damenhandball veranstaltet eine Tombola. Am Ende soll es eine Gewinnerin geben. Über den Preis für die Gewinnerin hat es im Vorfeld Diskussionen gegeben, und die Sportlerinnen haben sich schließlich auf zwei mögliche Gewinne verständigt, von denen am Ende aber nur einer vergeben wird. Dementsprechend haben sie sich auf den folgenden Kompromiss geeinigt: Es soll zwei Urnen für die Lose geben, und auf den beiden Urnen gibt es je eine Kennzeichnung, welcher Preis zu der Urne gehört.

2 Urnen

Bild 1  -  Urnen für zwei verschiedene Preise mit Anzahl der enthaltenen Lose

So soll die Tombola ablaufen: Jede Handballerin kann beliebig viele Lose kaufen und mit ihrem Namen beschriften. Diese Lose kann sie beliebig auf die beiden Urnen verteilen. Dabei kann z.B. eine Rolle spielen, welchen Preis sie lieber gewinnen möchte. Die Entscheidung für die Aufteilung der Lose kann aber auch davon abhängen, wieviele Lose bereits in den beiden Urnen liegen; deshalb wird zu jedem Zeitpunkt auf den Urnen mit Kreide nachgehalten, wie groß diese Anzahlen jeweils sind  -  siehe Bild 1. Die Mädchen gehen in alphabetischer Reihenfolge an die Urnen. Am Ende wird durch Münzwurf entschieden, welche Urne ausgewählt wird; aus dieser wird ein Los zufällig gezogen und damit die Gewinnerin ermittelt.

Zoe ist die letzte, die ihre Lose abgibt. Für sie sind beide Preise von gleichem Wert. Sie hat  6  Lose gekauft. Sie schaut auf die Urnen: In der linken Urne liegen  102  Lose, in der rechten  96 .

Wie sollte Zoe ihre Lose auf die beiden Urnen verteilen?

Dies führt uns auf die allgemeine Fragestellung:

In zwei Urnen befinden sich  n1  bzw.  n2  namentlich gekennzeichnete Lose. Zoe hat die Gelegenheit, als letzte Teilnehmerin Lose einwerfen zu dürfen. Die Gewinnausschüttung ist für sie bei beiden Urnen von gleichem Wert. Sie verteilt  m  Lose mit ihrem eigenen Namen auf die beiden Urnen. Dann wird eine der beiden Urnen ausgelost und daraus ein Los gezogen. Wie maximiert Zoe die Wahrscheinlichkeit, dass ein Los mit ihrem Namen gezogen wird? Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit?



Lösung


Publiziert 2022-05-30          Stand 2020-03-26


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