Manfred Börgens Mathematische Probleme     Jubiläumsseite   # 100

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Walmdach


Zum Jubiläum dieser Seite gibt es ein klassisches Extremwertproblem.

In Bild 1 sieht man ein Walmdach (blau), dessen typische 5-Balken-Konstruktion rechts zu sehen ist.

                  
Bild 1

Wir wollen hier nur vollständig symmetrische Walmdächer betrachten. Diese haben einen Firstbalken der Länge  x , der in beiden Dimensionen mittig zum Dach liegt, und vier Schrägbalken der Länge  s .

Drei Maße des Daches sind fest vorgegeben: Es ruht auf einem Rechteck mit den Seitenlängen  a  und  b , und seine Höhe (also die Höhe des Firstbalkens über dem Dachboden) ist  h .



Bild 2  -  Draufsicht

Aufgabe 1a
Wie ist  x  zu wählen, damit die Gesamtlänge aller fünf Balken minimal wird?
Aufgabe 1b
Wie lässt sich die Minimallösung mit Hilfe der Winkel zwischen den Balken ausdrücken?

Aufgabe 2
Wie ist  x  zu wählen, damit die Dachfläche minimal wird?



Lösung

Publiziert 2017-09-17          Stand 2015-08-28

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