MB Matheblog # 51

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2026-10-26 Kommentare sind willkommen. Mondbahn  –  Phasen und Jahreszeiten

Die Bahn des Mondes wurde bereits in Problem # 132 und in Blog # 42 behandelt; dort ging es um die Mondwenden und um die Sichtbarkeit des Mondes. In diesem Blogbeitrag soll ein Phänomen genauer betrachtet werden, das aufmerksamen Beobachtern gut bekannt ist, nämlich der Zusammenhang der Mondphasen mit den Jahreszeiten. Hier sprechen wir nicht die (Hobby-)Astronomen an, die natürlich diesen Zusammenhang erklären können, sondern die Spaziergänger, die gerne den Lauf des Mondes während eines Monats und im Verlauf eines Jahres verfolgen. Das hier behandelte Phänomen lässt sich kurz so beschreiben:

Der Vollmond steht in den Tagen um den Winteranfang am höchsten und in den Tagen um den Sommeranfang am niedrigsten  –  beim Neumond ist es umgekehrt.

Der zunehmende Halbmond steht in den Tagen um den Frühlingsanfang am höchsten und in den Tagen um den Herbstanfang am niedrigsten  –  beim abnehmenden Halbmond ist es umgekehrt.

Wir wollen auf zwei Weisen zeigen, wie dieses jährliche Zusammenspiel von Mondphasen und Kulminationshöhen des Mondes zustande kommt (die Kulminationshöhe ist die Höhe über dem Horizont, unter der der Beobachter den Mond sieht), zuerst mit Hilfe von Graphiken, dann durch eine mathematische Behandlung.

Im oberen rechten Feld von Bild 1 sehen wie einen Querschnitt durch die Erde, der den Mittelpunkt und die Pole enthält. Die Polachse ist um  ε\(_~=_~23,44°\) gekippt, das entspricht der Neigung gegen die Ekliptikebene (in der die Sonne und mit leichten Abweichungen die Planeten stehen), die in der Graphik also durch die Punkte A und B geht und auf deren Kante wir schauen. Der Mond ist hier so eingezeichnet, dass er sich ebenfalls in der Ekliptik aufhält  –  im Mittel ist das auch richtig; die Abweichungen von \(_~\pm~5,15°\) werden im Kasten unter Bild 1 noch angesprochen. Wenn der Mond so steht, ist seine Bahn um  ε  gegenüber der Äquatorebene (\(_~0°\) in der Graphik) abgewinkelt. Was sieht nun ein Beobachter (kleine grüne Figuren) auf dem Breitengrad  φ ?  Die Erde dreht sich bezogen auf den Fixsternhimmel in knapp einem Tag (\(23,9345_~\) Stunden, Sterntag) um die Polachse; in der Graphik festgehalten sind zwei Zeitpunkte, an denen der Mond für den Beobachter genau im Süden steht, also in seinem höchsten Punkt (Kulmination) im Verlauf eines Sterntags, und gleichzeitig in A oder B in der dargestellten Querschnittebene (Zeichenebene). Der Mond nimmt die Positionen A und B je einmal während eines siderischen Umlaufs von \(27,3217_~\) Tagen ein (A-B-A von Tiefststand zu Tiefststand). Das bedeutet aber, dass die Darstellung in der Graphik idealisiert ist, denn da sich sowohl der Mond als auch die Erde ständig bewegen, wird der Beobachter fast nie die Kulmination sehen, wenn der Mond exakt einen Tiefststand A oder einen Höchststand B hat. Das spielt aber praktisch keine Rolle, da sich die Erde schnell dreht gegenüber der siderischen Rotation des Mondes. D.h. wir können die Graphik so deuten, dass der Mond kulminiert und fast in A oder B steht.  –  Die tägliche Rotation der Erde und der monatliche Umlauf des Mondes werden in der oberen linken Graphik von Bild 1 (Draufsicht, beide Bewegungen im Gegenuhrzeigersinn) anschaulich gemacht.

Im Folgenden wollen wir uns auf die nördlichen gemäßigten Breiten beschränken, also auf  φ \(\in (23,44°,_~66,56°)\). Dort ist der Mond ganzjährig sichtbar und kulminiert immer im Süden.

In Bild 1 sehen wir oben eine schematische, nicht maßstäbliche Draufsicht und Seitenansicht auf Erde und Mond. Sie dienen für die darunterstehenden Graphiken als allgemeine Vorlage. In der Draufsicht ist der Nordpol aus dem Zentrum nach unten gekippt, was der Neigung um  ε  gegen die Ekliptik entspricht; in dieser hält sich hier der Mond auf (idealisiert, s.o.). Wegen dieser Neigung sieht man einen kleinen Teil der Südhalbkugel.  –  Wenn man die Draufsicht flachlegt und sich dann auf die linke Kante stellt, sieht man die Seitenansicht wie in der rechten Graphik.  –  Unterhalb sind die vier Jahreszeiten (jeweils zu Beginn) dargestellt, in denen die Sonne in ihrer jeweiligen Richtung zum Nordpol eingezeichnet ist.

Bild 1   Schematische Darstellung der Mondphasen zu verschiedenen Jahreszeiten  –  nicht maßstäblich

Im Punkt A, d.h. auf der dem Nordpol abgewandten Seite, beträgt die Kulminationshöhe \(_~90°\)– φ – ε ;  in B  \(~90°\)– φ + ε .  Es wurde schon erwähnt, dass  ε  nur der mittlere Wert im langjährigen Mittel ist. In der Graphik müsste streng genommen für A und B eine Schwankung von \(~\pm 5,15°\) nach Nord und Süd eingezeichnet werden; dann ist die Kulminationshöhe \(_~90°\)– φ\(~\mp~\delta_{max}{_~}\)  mit  \(_~\delta_{max}{_~}\in{_~}(18,29°,_~ 28,59°)\),  also der maximalen Deklination des Mondes zur Zeit der Beobachtung (siehe dazu Problem # 132).

\(x_~=_~0_~\) soll für einen Winteranfang stehen. \(_~x_~\gt_~0_~\) ist im Prinzip nach oben offen, kann also für mehrere Jahre stehen. Wenn man allerdings den Definitionsbereich sehr groß wählt, kumulieren sich die unvermeidbaren Ungenauigkeiten. Deshalb zeichen wir die Graphen für \(_~h(x)\) und \(_~p(x)\) für ein Jahr, also von Winteranfang bis Winteranfang.

Wir beginnen mit \(_~h(x)_~\).  Die Periodenlänge zwischen zwei Maxima der Monddeklination beträgt

\(~~~~~a=27,3217\) (in Tagen, siderische Periode)

Ein siderisches Periodenintervall ist auch der Zeitraum, nach dem der Mond wieder an der gleichen Stelle vor dem Fixsternhimmel zu sehen ist.

\(a_0{_~}\) (in Tagen) sei das erste Maximum ab Winteranfang. \[h(x)~=~\text{cos}\left(\frac{2_~\pi}{a}_~(_~x_~-_~a_{_~0_~})\right)\] Nun zu \(_~p(x)_~\).  Die Periodenlänge zwischen zwei Neumonden beträgt

\(~~~~~b=29,5306\) (in Tagen, synodische Periode)

Wir wählen eine bestimmte Phase des Mondes aus. \(_~b_0{_~}\) (in Tagen) stehe dann für das erste Auftreten dieser Phase ab Winteranfang. \[p(x)~=~\text{cos}\left(\frac{2_~\pi}{b}_~(_~x_~-_~b_{_~0_~})~+~v_~\right)\]

\(x_~={_~}0{_~}\)   →   Winteranfang 2025: 21. Dezember 16:03 MEZ

Zur Erläuterung: Was würde z.B. \(_~x_~={_~}21,25{_~}\) bedeuten? Vom Winteranfang aus gehen wir 21 Tage und 6 Stunden vor und stehen bei 11. Januar, 22:03 MEZ.

Erstes Maximum 2.1.2026  09:24 MEZ
→   \(_~a_{0~}={_~}11,723\)

Erster Vollmond 3.1.2026  11:03 MEZ
→   \(_~b_{0~voll~}={_~}12,7917\)

Erster abnehmender Halbmond 10.1.2026  16:48 MEZ
→   \(_~b_{0~abn~}={_~}20,0313\)

Erster Neumond 18.1.2026  20:52 MEZ
→   \(_~b_{0~neu~}={_~}28,2\)

Erster zunehmender Halbmond 27.12.2025  20:10 MEZ
→   \(_~b_{0~zun~}={_~}6,1715\)

Wie schon oben im Kasten erwähnt, sind die \(_~b_{0~}\) nicht äquidistant.

Die folgenden Bilder zeigen \(_~p(x)\) und \(_~h(x)\) mit den angegebenen \(_~v,~a_{0~},~b_{0~}\). Auf der Abszisse sind die Tage für ein Jahr ab Winteranfang 2025 abgetragen. Die Ordinate zeigt die normierte Deklination bzw. Kulminationshöhe des Mondes.

Bild 2
Ablauf der Mondphasen gemäß der synodischen Periode (\(p(x)\), grün)  –  12 Maxima (Vollmonde), 12 Minima (Neumonde).
Ablauf der Monddeklination (bzw. der Kulminationshöhe) gemäß der siderischen Periode (\(h(x)\), schwarz)  –  13 Maxima (Höchststände), 13 Minima (Tiefststände).
Schematische, näherungsweise Darstellung für ein Jahr ab Winteranfang 2025.

Bild 3
Abfolge der Vollmonde gemäß der synodischen Periode (\(p(x)\), grün, wie in Bild 2)  –  12 Vollmonde.
Ablauf der Monddeklination (bzw. der Kulminationshöhe) gemäß der siderischen Periode (\(h(x)\), schwarz, wie in Bild 2)  –  12 Vollmonde.

Bild 4
Abfolge der abnehmenden Halbmonde gemäß der synodischen Periode (\(p(x)\), grün, wie in Bild 2)  –  12 abnehmende Halbmonde.
Ablauf der Monddeklination (bzw. der Kulminationshöhe) gemäß der siderischen Periode (\(h(x)\), schwarz, wie in Bild 2)  –  12 abnehmende Halbmonde.

Bild 5
Abfolge der Neumonde gemäß der synodischen Periode (\(p(x)\), grün, wie in Bild 2)  –  12 Neumonde.
Ablauf der Monddeklination (bzw. der Kulminationshöhe) gemäß der siderischen Periode (\(h(x)\), schwarz, wie in Bild 2)  –  12 Neumonde.

Bild 6
Abfolge der zunehmenden Halbmonde gemäß der synodischen Periode (\(p(x)\), grün, wie in Bild 2)  –  13 zunehmende Halbmonde.
Ablauf der Monddeklination (bzw. der Kulminationshöhe) gemäß der siderischen Periode (\(h(x)\), schwarz, wie in Bild 2)  –  13 zunehmende Halbmonde.

Die schwarzen Kurven zeigen, worauf wir hinauswollen, nämlich den Zusammenhang von Mondphasen und Jahreszeiten. Beispielsweise zeigt die untere Graphik in Bild 6, dass der zunehmende Halbmond ein "Frühlingsmond" ist, denn zu Frühlingsanfang steht er am höchsten.

Aber die Bilder 2 - 6 haben keinen Jahresrhythmus, denn die synodische und die siderische Periode sind inkommensurabel zur Jahreslänge. Es muss jedoch eine Funktion mit einer Jahresperiode geben, die den Zusammenhang von Mondphasen und Jahreszeiten wiedergibt, denn wir beobachten diesen Zusammenhang jedes Jahr am Himmel. Um diese Funktion zu ermitteln, wollen wir zunächst die gegenseitige Abhängigkeit von \(_~a_~\) und \(_~b_~\) angeben. Im Folgenden bezeichnet \(_~J_~\) die Jahreslänge.

\(J/a~\) ist die Anzahl siderischer Umläufe des Mondes um die Erde in einem Jahr.

\(J/b~\) ist die Anzahl synodischer Umläufe des Mondes um die Erde in einem Jahr.

Da sich die Erde in einem Jahr einmal um die Sonne bewegt, unterscheiden sich diese beiden Anzahlen genau um \(_~1_~\) (ausführliche Erklärungen siehe → hier und  → hier) : \[\frac{J}{a}~=~\frac{J}{b} + 1~~~~\Rightarrow~~~~\frac{1}{a}~=~\frac{1}{b} + \frac{1}{J}\] \(b_{_~0~}\) gehöre jetzt zu einer beliebigen, aber fest gewählten Mondphase. \(_~x_{n~}\) seien die Zeitpunkte, an denen diese Phase auftritt (ab einem Winteranfang), \(_~n\in \textbf{N}_0\) : \[x_n=n_~b_~+_~b_{_~0}\] Dies gilt nur näherungsweise  –  siehe die Einschränkungen im Kasten oben  – ,  aber ausreichend gut für den Amateur, der den Mondlauf beobachtet.

Nun wird die funktionelle Abhängigkeit der Monddeklination von der gewählten Phase bestimmt: \[h(x_n)~=~\text{cos}\left(\frac{2_~\pi}{a}_~(_~{x_n}_~-_~a_{_~0_~})\right)~=~ \text{cos}\left(2_~\pi_~\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{J}\right)_~(_~{n_~b}_~+_~{b_{_~0}}_~-_~a_{_~0_~})\right)~=~ \text{cos}\left(2_~\pi\left(\frac{{x_n}}{J}_~+_~\frac{b_{_~0}}{b}_~-_~{a_{_~0}}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{J}\right)\right)\right)~=~ \text{cos}\left(\frac{2_~\pi}{J}_~{x_n}_~+_~q\right)\] \[~~~~~~~~\text{mit}~~~q~=~2_~\pi\left(\frac{b_{_~0}}{b}_~-_~\frac{a_{_~0}}{a}\right)\] Beim Ausmultiplizieren wurde \(_~\text{cos}_~(2_~n_~\pi+x) = \text{cos}(x)\) verwendet.

Das bedeutet, dass es für jede Phase des Mondes eine "Jahreskurve" \(_~h_J(x)\) gibt, auf der sich die Zeitpunkte \(_~x_{n~}\) dieser Phase (Abszisse; natürlich in jedem Jahr verschieden) und die zugehörigen auf \([-1,1]\) normierten Deklinationen bzw. Kulminationshöhen (Ordinate) für diese Phase auffinden lassen: \[h_J(x)_~=_~\text{cos}\left(\frac{2_~\pi}{J}_~x_~+_~q\right)\] \(h_{J~}\) ist die gesuchte Funktion, die den Zusammenhang von Mondphasen und Jahreszeiten wiedergibt. \(_~q_~\) hängt dabei von der gewählten Phase ab.  –  Wenn man von vornherein unterstellt hätte, dass es eine J-periodische Funktion für die Deklination der Mondphasen gibt  –  was empirisch naheliegend ist  – ,  hätte diese natürlich genau die Gestalt von \(_~h_{J~}\) annehmen müssen. Aber wir wollten dies hier nur unter Verwendung von \(_~a,_~b,_~a_{_~0~},_~b_{_~0~}\) herleiten.

An dieser Stelle mag es hilfreich sein, vorab einen Blick auf Bild 7 zu werfen; dort sind für die vier "Haupt"-Phasen die Jahreskurven \(_~h_J(x)\) dargestellt.

Nun wollen wir noch eine Vereinfachung für die Hauptphasen des Mondes vornehmen. Da weder die Jahreszeiten genau gleich lang sind, noch die \(_~b_{_~0~}\) für Vollmond, abnehmenden Halbmond, Neumond und zunehmenden Halbmond genau äquidistant sind, bietet sich an, für diese Phasen \(_~q=v_~\) zu setzen. Was bedeutet das? Wenn eine dieser Phasen auf den Winteranfang, also auf \(_~x=0_~\) fällt, so wird \(_~\text{cos}~v_~\) für die normierte Deklination gesetzt. Das stimmt im Mittel näherungsweise ausreichend gut; dann fängt die Jahreskurve für die Halbmonde im Koordinatenursprung an und für Voll- und Neumond in \((0,_~\pm_~1)\)  –  siehe Bild 7:

Bild 7   Jahreskurven für ein Jahr ab Winteranfang 2025
Vollmond - Wintermond
Abnehmender Halbmond - Herbstmond
Neumond - Sommermond
Zunehmender Halbmond - Frühlingsmond

Stand 2026-02-17

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