Die Hämophilie (Bluterkrankheit) ist eine Erbkrankheit, die durch die fehlende Fähigkeit zur Blutgerinnung gekennzeichnet ist. Wer an ihr leidet, muss z. B. Schnittwunden rasch verbinden, weil sie sonst nicht aufhören würden zu bluten. Die größte Gefahr geht von inneren Blutungen aus, die oft tödlich verlaufen - zumindest war dies in früheren Zeiten so.
Glücklicherweise ist die Hämophilie rezessiv, d.h. in der Kombination mit gesundem Erbgut dünnt sich der Anteil der Erkrankten von Generation zu Generation immer mehr aus.
Um den Vererbungsgang der Hämophilie verstehen zu können, muss man sich das 23. Chromosomenpaar des menschlichen Genoms anschauen. Dieses besteht bei Frauen aus zwei X-Chromosomen, beim Mann aus einem X- und einem Y-Chromosom. Bei der Zeugung eines Kindes wird aus dem Chromosomenpaar der Mutter eines der beiden X-Chromosomen zufällig ausgewählt und vom Vater zufällig das X- oder das Y-Chromosom; die beiden kombinieren sich zum 23. Chromosomenpaar des Kindes und bestimmen u.a. sein Geschlecht (siehe Grafik).
Die Hämophilie entsteht, wenn ein X-Chromosom einen speziellen Defekt aufweist. Bei Frauen führt dies in Kombination mit einem gesunden X-Chromosom aber in der Regel nicht zu Krankheitssymptomen. Nur bei Kombination eines defekten X-Chromosoms mit einem Y-Chromosom (also nur bei Männern) manifestiert sich der Defekt im Fehlen eines Gerinnungsfaktors im Blut. Man kann also innerhalb einer Familie, in der Hämophilie vorkommt, vier Chromosomen-Kombinationen unterscheiden (defekte Chromosomen in Rot):
XY gesunde Männer
XY hämophile Männer - "Bluter"
XX gesunde Frauen - "Nicht-Trägerinnen"
XX Frauen ohne Krankheitssymptome - "Trägerinnen"
Den sehr seltenen Fall XX wollen wir hier ausschließen. Er könnte durch spontane Mutation auftauchen oder auch bei gemeinsamen Töchtern von Blutern und Trägerinnen (da aber die Krankheit und ihre Übertragungswege gut erkennbar sind, lassen sich Verbindungen von Blutern und Trägerinnen vermeiden). Auch XY könnte durch spontane Mutation statt durch Vererbung auftreten. Diese beiden Fälle sollen hier nicht betrachtet werden. (Dass aber die Hämophilie tatsächlich auch durch Mutation im Erbgut spontan auftreten kann, folgt schon daraus, dass sie sonst ausgestorben wäre - dies wird bei den Fragen weiter unten noch belegt.)
Nun lässt sich der Vererbungsgang der Hämophilie beschreiben. Die Anworten auf die folgenden Fragen lassen sich als einfache Wahrscheinlichkeiten angeben. Dabei soll eine Gleichverteilung der Geschlechter unterstellt werden. Es wird davon ausgegangen, dass die Mitglieder einer an Hämophilie leidenden Familie weder untereinander Kinder zeugen noch mit einer anderen hämophilen Familie.
Wie verteilen sich statistisch die Kinder von Blutern auf die vier Typen XY, XY, XX, XX ?
Frage 1
Wie verteilen sich statistisch die Kinder von Trägerinnen auf die vier Typen XY, XY, XX, XX ?
Frage 2
Stellen Sie sich nun vor, einer oder eine Ihrer Vorfahren war Bluter oder Trägerin. Die Generationen bis zu Ihnen lassen sich dann als eine Abfolge von M (für Männer) und W (für Frauen) darstellen, z.B. so:
M / W M W W W M W M M / W
Am Anfang dieser Abfolge steht der Bluter (M) oder die Trägerin (W), am Ende stehen Sie selbst, M oder W, als (im Beispiel) Ur-Ur-Ur-Ur-Ur-Ur-Enkel(in).
Wie lässt sich an der M-W-Abfolge Ihrer Vorfahren ablesen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Sie selbst Bluter bzw. Trägerin sind?
Frage 3
In früheren Zeiten musste man Blutern sowie ihren Schwestern und Töchtern davon abraten, Kinder zu bekommen (was in den britischen und spanischen königlichen Familien nicht beherzigt wurde). Heutzutage ist zwar Hämophilie nicht heilbar, aber die Symptome lassen sich durch Gabe blutgerinnungsfördernder Mittel eindämmen. Wir wollen daher im folgenden davon ausgehen, dass sich Bluter und Trägerinnen keine Einschränkungen bei der Familienplanung auferlegen.
Die Vererbung der Hämophilie über mehrere Generationen lässt sich unter statistischen Gesichtspunkten am besten als Markow-Prozess beschreiben. In jeder Generation kommen die vier Zustände XY, XY, XX, XX mit veränderlichen Wahrscheinlichkeiten vor; diese Wahrscheinlichkeiten fasst man in einem Zustandsvektor vn für die n-te Generation zusammen. Die Summe der vier Komponenten von vn beträgt also immer 1 . Man beginnt mit einer Person P (0. Generation), die Hämophilie weitergeben kann, also mit dem Zustand XY oder XX, was v0 = (0,1,0,0) bzw. v0 = (0,0,0,1) entspricht. Von einer Generation zur nächsten kommt man mit Hilfe einer 4x4-Übergangsmatrix A , in der das Element in der i-ten Zeile und k-ten Spalte die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der eine Person im k-ten Zustand ist, falls sie das Kind einer Person im i-ten Zustand ist, die von P abstammt. Alle Zeilensummen von A betragen also 1 . Für die erste Generation nach P ist dann v1 = v0.A (Matrizenmultiplikation); v1 ist übrigens die Antwort auf die Fragen 1 und 2.
Wie sieht die Übergangsmatrix A für die Vererbung der Hämophilie aus?
Frage 4
Wegen vn = vn-1.A folgt vn = v0.An .
vn gibt aus Sicht von P die Wahrscheinlichkeiten der vier Zustände XY, XY, XX, XX in der n-ten Nachfahren-Generation an.
Wie sind die Zustände XY, XY, XX, XX in der 2. und 3. Nachfahren-Generation verteilt?
Frage 5
Für die weiteren Generationen empfiehlt es sich, An allgemein zu berechnen, um vn zu erhalten. Für die Berechnung von Matrixpotenzen gibt es verschiedene Verfahren; eines von ihnen finden Sie im Hinweis. Beachten Sie, dass wegen der einfachen Struktur von v0 und vn = v0.An die Matrix An nicht unbedingt explizit und vollständig berechnet werden muss.
Wie sind die Zustände XY, XY, XX, XX in der n-ten Nachfahren-Generation verteilt?
Frage 6
Am Anfang war davon die Rede, dass sich die Hämophilie von Generation zu Generation immer mehr ausdünnt. Wie lässt sich das exakt quantifizieren? Gibt es einen Grenzwert?
Frage 7