Hinweis:
Matrixpotenzen
Es soll ein allgemein anwendbares Verfahren zur Berechnung der n-ten Potenz einer quadratischen Matrix A mit m Reihen angegeben werden. Dieses Verfahren lässt sich auch gut als Computeralgebra-Programm implementieren.
Man benötigt dazu:
- m - 2 Potenzen von A , nämlich A2, ..., Am-1 (entfällt bei zweireihigen Matrizen).
- Die Eigenwerte w1, ..., wj von A mit ihren Vielfachheiten r1, ..., rj .
- Die Lösung des Gleichungssystems mit m Gleichungen und m Unbekannten x0, x1, ..., xm-1 :
Dabei läuft k = 1, ..., j und für jedes k läuft p = 0, ..., rk-1 .
Dann ist An = x0·E + x1·A + x2·A2 + ... + xm-1·Am-1 .
( E = A0 ist die Einheitsmatrix.)
Ist man nur an Produkten v.An ( v Zeilenvektor der Länge m ) interessiert, ist es oft einfacher, zuerst v.Ai für i = 0, ..., m-1 zu berechnen und dann von diesen Vektoren die Linearkombination mit den xi zu bilden.
Im Hämophilie-Problem ist m = 4 , und es gibt 4 verschiedene Eigenwerte (die dann zwangsläufig alle die Vielfachheit 1 haben). Dadurch ergibt sich das folgende einfache Gleichungssystem:
Manfred Börgens - Problem des Monats Januar 2005 - Hinweis - Stand 28.9.2004
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