Problem des Monats Juli / August 2004

A. und B. wetten leidenschaftlich gern. Außerdem hängt ihr Herz an demselben Verein. Dessen erste Mannschaft spielt in einer Liga, deren Spielbetrieb für jede Mannschaft pro Saison je ein Heim- und ein Auswärtsspiel gegen jede andere Mannschaft vorsieht. In einer Sommerpause, vor Beginn der neuen Saison, sagt A. zu B.: "Ist dir mal aufgefallen, dass unser Verein ewig Pech bei der Seitenwahl hat? Ich rechne nicht damit, dass sich das in der kommenden Saison ändern wird. Ich wette, dass wir höchstens x-mal die Seitenwahl gewinnen werden."

Natürlich sagt A. nicht "x-mal", sondern nennt eine konkrete Zahl. Diese soll aber hier vor den Problemlösern verborgen werden.

B. hält dagegen: "Ich wette 50:20 Euro, dass du unrecht hast." A. akzeptiert diese Wette.

Was meint B. genau mit seinem Angebot? Falls er die Wette verliert, zahlt er 50 Euro an A., andernfalls muss A. 20 Euro an B. zahlen.

A. und B. haben ein gutes Gespür für faire Wetten. Tatsächlich sichert sich A. mit der Annahme der Wette nur einen minimalen, kaum nennenswerten Vorteil.

Wieviele Mannschaften spielen in der Liga?
Gespielt wird übrigens nur sonntags; Sommer- und Winterpause dauern jeweils mehrere Wochen.

Um sich Rechnungen zu ersparen, wird der Einsatz eines kleinen Programms hilfreich sein.

Lösung

n  sei die Anzahl der Spiele einer Mannschaft in einer Saison. Um beurteilen zu können, ob die Wette fair ist, muss man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein bestimmter Verein bei maximal  x  Spielen die Seitenwahl gewinnt. Wer sich in Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik auskennt, weiß, dass diese Frage auf eine Binomialverteilung für  n  Versuchswiederholungen und Eintretenswahrscheinlichkeit  ¹/₂  führt. Aber das muss man nicht wissen, sondern kann sich alles selbst mit elementarer Kombinatorik herleiten.

Jede einzelne Seitenwahl ist mit Wahrscheinlichkeit  ¹/₂  erfolgreich. Eine bestimmte (zeitlich geordnete) Abfolge von  k  gewonnenen und  n - k  verlorenen Seitenwahlen hat also die Wahrscheinlichkeit  (¹/₂)ⁿ . Die Anzahl der möglichen Positionierungen der  k  gewonnenen Seitenwahlen innerhalb der  n  Spiele ist:



Also ist die Wahrscheinlichkeit für genau  k  gewonnene Seitenwahlen:



Daraus folgt die Wahrscheinlichkeit für höchstens  x  gewonnene Seitenwahlen:



n  und  x  sind nicht bekannt, aber  p  lässt sich aus der (fairen!) 50:20-Wette in sehr guter Näherung ermitteln. Es muss mit hoher Genauigkeit  p·50 = (1 - p)·20  gelten, also  p = ²/₇ .

Damit ist man fast am Ziel.  n  und  x  sind so bestimmen, dass  p  nur sehr wenig von  ²/₇  abweicht. Für  n  kann wegen der Sommer- und Winterpause maximal 48 eingesetzt werden. Die Berechnungen überlässt man besser einem kleinen Programm.

Für  n = 28  und  x = 12  ist  p = 0.28579...  Zum Vergleich:  ²/₇ = 0.28571...

A. hat also auf höchstens 12 gewonnene Seitenwahlen gewettet. Wie groß ist der statistisch zu erwartende Vorteil für ihn? Er gewinnt 50 Euro mit Wahrscheinlichkeit  p  und verliert 20 Euro mit Wahrscheinlichkeit   1 - p . Wegen  p·50 - (1 - p)·20 = 0.0059  (gerundet) beträgt A's Vorteil statistisch lediglich etwa einen halben Cent.

Jede Mannschaft spielt also 28 Spiele pro Saison. Folglich spielen in dieser Liga 15 Vereine. Die Saison hat dann wegen der ungeraden Anzahl von Mannschaften 30 Spieltage.