Problem des Monats Januar 2004

Auf jeder Seite eines Würfels wird eine gerade Strecke von Rand zu Rand gezeichnet, die die Seite in zwei gleich große Rechtecke zerlegt. Hier sieht man ein Beispiel:

Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es für eine solche Markierung des Würfels? Natürlich sollen zwei Markierungen als identisch gelten, wenn die eine durch Drehung des Würfels in die andere übergeht.

Lösung

Es gibt acht unterschiedlich markierte Würfel.

Zur besseren Orientierung werden hier alle Würfel so gezeichnet, dass die schwarzen Kanten die sichtbaren sind und die grauen Kanten die unsichtbaren, falls der Würfel intransparent wäre. Man schaut also auf die vordere, die obere und die rechte Seite des Würfels:

Wir gehen systematisch vor, indem wir vom Konzept "zusammenhängender Linien" ausgehen. Maximal vier Linien können zusammenhängen, und man kann den Würfel immer so drehen, dass sie so liegen:

Die beiden übrigen Linien können dann parallel liegen oder nicht, so dass es dafür zwei Lösungen gibt:

Natürlich hätte man die Linien auf der linken und rechten Seite des Würfels auch anders zeichnen können (z.B. waagerechte Parallelen), aber man sieht leicht, dass sich alle diese Lösungen durch Drehung des Würfels in eine der beiden dargestellten Lösungen überführen lassen.

Weiter geht es mit den Würfeln, die drei zusammenhängende Linien haben (aber nicht mehr). Diese Linien sollen immer wie im folgenden Bild orientiert sein:

Man beachte, dass dann der Verlauf der Linie auf der unteren Würfelseite schon festgelegt ist, also nur noch die Linien links und rechts frei sind. Es gibt genau eine Lösung, bei der die drei übrigen Linien ebenfalls zusammenhängen, eine weitere Lösung, bei der zwei Linien zusammenhängen, und eine dritte Lösung, bei der die drei übrigen Linien nicht zusammenhängen. Hier sieht man diese drei Lösungen:

Nun soll der Fall untersucht werden, dass zwei Linien zusammenhängen (aber nicht mehr). Diese Linien sollen wie im nächsten Bild liegen:

Hier sind dann Rückseite und Unterseite schon festgelegt; wieder sind nur die Linien auf der linken und rechten Seite frei. Eine davon muss waagerecht und die andere senkrecht verlaufen, denn sonst würden drei zusammenhängende Linien entstehen. Interessanterweise führt das zu zwei verschiedenen Lösungen. Man kann sich im folgenden Bild davon überzeugen, dass sich diese beiden Lösungen nicht durch Drehung ineinander überführen lassen.

Nun bleibt nur noch die eine Lösung übrig, bei der es keine zusammenhängenden Linien gibt. Wenn man mit mit einer beliebigen Linie anfängt, ergeben sich alle anderen zwangsläufig:

Hier sind alle acht Lösungen im Überblick: