Problem des Monats November 2003

Die Klasse 10b besuchen 18 Schülerinnen und Schüler. Sie gehen alle entweder in die AG Leichtathletik oder in die AG Ballspiele. Für das Jahressportfest wird aus jeder AG ein Kapitän ausgelost. Wenn die Chance, dass beide Kapitäne Mädchen sind, 5 gegen 11 beträgt, wie groß ist dann die Chance, dass beide Kapitäne Jungen sind?

Hinweis zur Bedeutung von "Chance"

Lösung

Die Chance, dass beide Kapitäne Jungen sind, beträgt entweder  0  oder  3 gegen 13.

Für den Beweis sollen die folgenden Bezeichnungen verwendet werden:

n  Leichtathletinnen und Leichtathleten
18-n  Ballsportlerinnen und Ballsportler

a  Leichtathletinnen
b  Ballsportlerinnen

Dann ist  ^a/_n · ^b/_18-n = ⁵/₁₆ , also
(*)  a·b = ⁵/₁₆ ·(18-n)·n .

In der Gleichung (*) stehen drei Unbekannte. Es gibt aber nur wenige Lösungen, weil nur ganzzahlige  a, b, n  mit  n<18  in Frage kommen.  (18-n)·n  muss also ein Vielfaches von  16  sein. Das ist offenbar nur für  n = 2, 8, 10, 16  der Fall. Für diese  n  folgt  a·b = 10  oder  a·b = 25 . Aus diesen Möglichkeiten ergibt sich die folgende Übersicht:

AG 1 :  2 Mädchen, 0 Jungen
AG 2 :  5 Mädchen, 11 Jungen

AG 1 :  1 Mädchen, 1 Junge
AG 2 : 10 Mädchen, 6 Jungen

AG 1 :  5 Mädchen, 3 Jungen
AG 2 :  5 Mädchen, 5 Jungen

Da sich für AG 1 und AG 2 wechselweise AG Leichtathletik oder AG Ballspiele einsetzen lassen, gibt es also insgesamt 6 Lösungen der Gleichung (*), nämlich:.

(a, b, n) = (2, 5, 2)  oder  (5, 2, 16)  oder  (1, 10, 2)  oder  (10, 1, 16)  oder  (5, 5, 8)  oder  (5, 5, 10).

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kapitäne Jungen sind, beträgt  ^n-a/_n · ^18-n-b/_18-n .
Für  (a, b, n) = (2, 5, 2)  und  (a, b, n) = (5, 2, 16)  ist diese Wahrscheinlichkeit 0, für die anderen vier Lösungen beträgt sie  ³/₁₆ .

Nun muss noch die zugehörige Chance berechnet werden. Im Hinweis aus der Aufgabenstellung konnte man schon für eine Chance "x gegen y" die zugehörige Wahrscheinlichkeit  p = ^x/_x+y  nachlesen. Formt man dies um zu  p = ¹/_1+y/x  , erhält man (für p>0)  ^y/_x = ¹/_p - 1 , also hier  ^y/_x = ¹³/₃ .

Somit erhält man insgesamt entweder die Chance 0 oder 3 gegen 13.