Problem des Monats Juni 2003

n  sei eine natürliche Zahl. Welche Endziffer hat  nⁿ ?

Lösung

Probiert man kleine Werte von  n  durch, erkennt man noch keine Regelmäßigkeit. Für größere Werte von  n  wächst  nⁿ  zu schnell für den Taschenrechner. Also muss man sich überlegen, wie man an die gesuchte Endziffer kommt. Klar ist, dass man für die Endziffer von  nⁿ  nur die Endziffer der Basis berücksichtigen muss; z.B. hat  13¹³  die gleiche Endziffer wie  3¹³  (nämlich 3). Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgehen kann, um Rechenaufwand zu sparen:

Statt  37³⁷  betrachtet man  7³⁷ = (7⁴)⁹ · 7.
7⁴  hat die Endziffer 1, also hat  37³⁷  die Endziffer 7.

So erhält man für die Endziffern von  nⁿ  die Folge (n = 1, 2, 3, ...):

1 4 7 6 5   6 3 6 9 0   1 6 3 6 5   6 7 4 9 0   1 4 7 6 5   6 3  . . .

Aha! Die Folgenglieder scheinen sich zu wiederholen. Ab  n = 21  geht es anscheinend wieder von vorne los. Ein paar Stichproben mit größeren  n  bestätigen diese Annahme. Wenn sie stimmt, kommt man für alle natürlichen  n  mit den ersten 20 der obigen Folgenglieder aus. Es ist also nachzuweisen, dass gilt:

(n+20)ⁿ⁺²⁰ hat die selbe Endziffer wie  nⁿ .

(n+20)ⁿ⁺²⁰ hat die selbe Endziffer wie  nⁿ⁺²⁰ = nⁿ · n²⁰, also ist zu zeigen, dass die Multiplikation mit  n²⁰  die Endziffer von  nⁿ  unverändert lässt. Dafür schaut man sich die 10 möglichen Endziffern von  n  an:

1. Fall
n  endet auf  0  oder  5 .
Dann enden auch  nⁿ  und  n²⁰  auf  0  bzw.  5 .

2. Fall
n  endet auf  1, 3, 7  oder  9 .
Da  3⁴, 7⁴  und  9²  alle die Endziffer  1  haben, endet  n²⁰  auf  1 .

3. Fall
n  endet auf  2, 4, 6  oder  8 .
Da  2⁴, 4²  und  8⁴  alle die Endziffer  6  haben, endet  n²⁰  auf  6 . Die Endziffer von  nⁿ  ist gerade, und gerade Endziffern werden bei Multiplikation mit  6  reproduziert.




In der Tabelle bedeutet  n mod 20  den Rest bei Teilung von  n  durch 20. Zur Ermittlung dieses Rests reicht es natürlich, sich die letzten beiden Stellen von  n  anzusehen.

Die Tabelle lässt sich noch etwas vereinfachen und komprimieren, indem man teilweise zu  n mod 10  übergeht. Mit  g  wird eine gerade (vorletzte) Ziffer bezeichnet, mit  u  eine ungerade: