Problem des Monats April 2003

Hier sind die fünf Platonischen Körper (Platon 427 - 347 v.Chr.):




Oben: Tetraeder, Würfel, Oktaeder
Unten: Dodekaeder, Ikosaeder

Was unterscheidet diese Körper von anderen Körpern? Man sieht zunächst, dass es sich um Polyeder handelt, d.h. die Platonischen Körper haben ebene Begrenzungsflächen, werden also von Polygonen (Vieleck-Flächen) berandet. An den fünf gezeigten Bildern sieht man nun, dass alle diese Polygone kongruente und regelmäßige n-Ecke sind (n = 3  bei Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder,  n = 4  beim Würfel,   n = 5  beim Dodekaeder). Regelmäßige n-Ecke haben  n  gleich lange Seiten und gleich große Winkel. Man könnte den Eindruck haben, dass diese Beschreibung schon zur Charakterisierung der Platonischen Körper ausreicht, aber das stimmt nicht, wie das folgende Bild zeigt:



Bei diesem Körper sind an einen Würfel sechs gleich große Würfel angesetzt worden, also besteht die Oberfläche aus 30 kongruenten Quadraten. Dennoch zählt dieser Körper nicht zu den Platonischen Körpern. Diese sollen nämlich konvex sein, d.h. zwischen je zwei Punkten des Körpers muss die Verbindungsstrecke vollständig innerhalb des Körpers verlaufen (bildlich gesprochen darf der Körper keine "Einbuchtungen" haben). Aber auch die zusätzliche Forderung der Konvexität reicht nicht hin zur Unterscheidung der Platonischen Körper von allen anderen Körpern. Und damit kommen wir der Fragestellung in diesem Monatsproblem nahe. Hier ist zunächst eine ausreichende Beschreibung der Platonischen Körper (es gibt auch andere und kürzere Beschreibungen):

Ein Platonischer Körper ist ein Polyeder mit den Eigenschaften:
(1)  Der Körper ist konvex.
(2)  Alle Begrenzungsflächen sind regelmäßige Vielecke.
(3)  Alle Begrenzungsflächen sind kongruent.
(4)  An jeder Ecke stoßen gleich viele Kanten zusammen.

Die vierte Eigenschaft ist also hinzugenommen worden. Wenn man wirklich nicht mit den ersten drei Eigenschaften auskommt, muss es ein Polyeder mit (1), (2) und (3) geben, das (4) verletzt (und dann auch kein Platonischer Körper sein kann). Dies soll zu dem allgemeineren Problem ausgedehnt werden:

Finden Sie Polyeder, bei denen jeweils drei der Eigenschaften (1) - (4) erfüllt sind, aber eine Eigenschaft nicht.

Diese Aufgabe lässt sich vollständig lösen, d.h. jede der Eigenschaften (1) - (4) kann als einzige fehlen. Wenn man eine der Eigenschaften (2), (3) oder (4) fortlässt, sind die gesuchten Körper ganz einfach, man kann dann sogar mit maximal sechs Seiten auskommen.

Lösung

(4) darf nicht fehlen: Man setzt z.B. zwei Tetraeder aufeinander und erhält ein Polyeder mit sechs kongruenten regelmäßigen Dreiecken als Begrenzungsflächen, so wie im Bild:




(3) darf nicht fehlen: Hier sollen zwei Beispiele angegeben werden, ein besonders einfaches und ein besonders schönes.

Eine Säule (Prisma) mit einem regelmäßigen Dreieck als Grund- und Querschnittfläche und mit der Höhe einer Dreieckseite hat drei Quadrate und zwei regelmäßige Dreiecke als Begrenzungsflächen:



Der (traditionelle) Fußball hat 12 regelmäßige Fünfecke und 20 regelmäßige Sechsecke als Begrenzungsflächen:




(2) darf nicht fehlen: Der unten abgebildete Körper (ein Parallelepiped) hat sechs kongruente gleichseitige Vierecke als Begrenzungsflächen. Aber diese Flächen sind Rauten, also nicht regelmäßig wegen der unterschiedlichen Winkel.




(1) darf nicht fehlen: Ein nicht-konvexes Polyeder mit (2) - (4) erhält man, indem man ein Ikosaeder (Bild siehe Aufgabenstellung) "eindellt", also eine Ecke mit den zugehörigen fünf Dreiecken nach innen stülpt:

Platonischer Körper und Polyederformel auf Briefmarke

Tabelle mit den Maßen der fünf Platonischen Körper:  deutsch  englisch

Animationen der Platonischen Körper