Manfred Börgens Mathematische Probleme # 21 |
Liste aller Probleme mit Lösungen voriges Problem nächstes Problem |
zur Leitseite |
Zwei Jahre nach dem Schulabschluss wohnen die meisten der Absolventen des Jahrgangs noch in ihrem Heimatort A, während die anderen in die Stadt B verzogen sind, 40 km entfernt. Ein Jahrgangstreffen soll in einem Ort an der Straße von A nach B stattfinden. Wo liegt der ideale Ort für das Treffen, wenn die Gesamtfahrstrecke aller Absolventen möglichst gering sein soll?
Bevor Sie über diese allgemeine Fragestellung nachdenken, können Sie sich auch zuerst dem konkreten Beispiel mit 20 Absolventen in A und 10 in B widmen.
Das Treffen sollte in A stattfinden.
Begründung durch Nachdenken:
Würden gleich viele Absolventen in A und B wohnen, wäre jeder Ort entlang der Strecke gleich gut. Für jeden zusätzlichen Absolventen aus A käme dann dessen Fahrtstrecke hinzu, falls das Treffen nicht in A stattfindet.
Begründung durch Rechnen:
n wohnen in A, m wohnen in B, n > m.
Treffen sei in C, k km entfernt von A.
Gesamtfahrstrecke: 2kn + 2(40 - k)m = 2k(n - m) + 80m
Diese Strecke wird wegen n - m > 0 minimal für k = 0.