Manfred Boergens - Problem 135 mit Loesung

Manfred Börgens
Mathematische Probleme # 135

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Alphametiken mit römischen Zahlen

Die Lösung steht im unteren Teil der Seite. Zum Aufwärmen eine leichte (nicht-römische) Alphametik.
Wie wird aus dieser totalen Leere etwas Positives?
NULL + NULL + NULL + NULL + NULL = HOHL

Die Aufgaben unterscheiden sich in mehrfacher Hinsicht von den drei bisher auf dieser Website vorgestellten Alphametiken (# 14, # 121, # 125):

Es gibt drei Summanden.
Es kommen nur wenige Ziffern vor.
Es werden römische Zahlen verwendet.
Die zweite Aufgabe ist eine inverse Alphametik und damit ein sehr seltenes Exemplar unter den Alphametiken.

Wer mit römischen Zahlen nicht vertraut ist, kann im Blog # 46 die Schreibweise und die Umrechnung dieser Zahlen nachschauen. Erlaubt sind hier die Ziffern M, D, C, L, X, V, I .

Die folgende Addition in römischen Zahlen ist korrekt. Sie soll nun alphametisch gelöst werden, also mit arabischen Ziffern anstelle der römischen Ziffern. Wie immer bei diesem Aufgabentyp bedeuten verschiedene Buchstaben verschiedene Ziffern, und führende Nullen sind nicht erlaubt.

CI + XII + XII ------ = CXXV

Nun zur inversen Alphametik. In der folgenden korrekten Addition in arabischen Zahlen soll jede Ziffer durch eine römische Ziffer ersetzt werden, so dass wieder eine korrekte Addition entsteht.

770 + 175 + 175 ------ = 1120

Lösung

In der leichten Alphametik ganz oben ist offenbar L = 5 und N = 1 . Daraus folgt H = 7 . Die U-Spalte übergibt an die N-Spalte den Übertrag 2 , also ist U = 4 und wir erhalten:

1455 + 1455 + 1455 + 1455 + 1455 ------ = 7275

Nun zu den römischen Alphametiken:

CI + XII + X_AI_BI --------- = CXXV Es gibt genau eine Lösung.

Übertrag A ≤ 2 ⇒ C = 1 .

Hunderterspalte (arabisch): X = 8 mit A = 2 oder X = 9 mit A = 1 . X = 8 scheidet wegen der Zehnerspalte aus, denn dann wäre der Übertrag B = 1 , für den sich kein passendes I findet.

Wegen X = 9 muss in der Zehnerspalte I = 8 mit Übertrag B = 2 sein. Es folgt V = 4 :

18 + 988 + 988 ------ = 1994

770 + 175 + 175 ------ = 1120 Es gibt fünf Lösungen.

Man beachte, dass D, L, V nicht in Paaren vorkommen, also nicht in 77 oder in 11 eingesetzt werden dürfen.

Wir betrachten zuerst den Fall, dass kein M (für 1000 ) vorkommt. Dann gibt es auch kein D (für 500 ) , da dieses für 0, 5 oder 2 eingesetzt werden müsste und somit von der Position her unerlaubt wäre. Es verbleiben fünf römische für fünf arabische Ziffern.

C (für 100 ) kann nicht für 7 eingesetzt werden, da dann das Endergebnis zu klein wäre. Dann muss 1 = C sein, da die restlichen L, X, V, I für die vorderen Stellen (Einsen) ausscheiden.

Für 7 kommen nur X (für 10 ) und I (für 1 ) in Frage. 7 = I scheidet wegen der ersten Zeile aus. Also ist 7 = X . Dann wird X viermal addiert, also muss L (für 50 ) im Endergebnis vorkommen. Der erste Summand erlaubt aber nicht 0 = L . Wir erhalten 2 = L . Dann sieht man sofort, dass 0 = I und 5 = V (für 5 ) sein muss.

XXI + CXV + CXV ------ = CCLI Erste Lösung

Nun kommt der Fall, dass M in der Addition vorkommt. Schaut man sich die erste Lösung an, so fällt auf, dass man einfach C durch M ersetzen kann:

XXI + MXV + MXV ------ = MMLI Zweite Lösung

Es gibt aber noch drei weitere (untereinander sehr ähnliche) Lösungen.

M kann nicht für 7 eingesetzt werden, da dann das Endergebnis zu klein wäre. Dann muss 1 = M sein, da M nicht an den hinteren Stellen stehen kann.

7 = X führt auf die zweite Lösung (in der ersten Lösung wurde gezeigt, wie aus 7 = X alles andere folgt). 7 = I kommt wegen dem ersten Summanden nicht in Frage. Es bleibt 7 = C . Dann wird C viermal addiert, also muss D im Endergebnis vorkommen. Der erste Summand erlaubt aber nicht 0 = D . Wir erhalten 2 = D und damit 5 = L . Für 0 kann dann I, V oder X eingesetzt werden.

CCI Dritte Lösung CCV Vierte Lösung CCX + MCL Dritte Lösung + MCL Vierte Lösung + MCL + MCL Dritte Lösung + MCL Vierte Lösung + MCL ------ Dritte Lösung ------ Vierte Lösung ------ = MMDI Dritte Lösung = MMDV Vierte Lösung = MMDX Fünfte Lösung

Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π

Publiziert 2026-03-09 Stand 2024-01-18

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