Unser "Nur-Dach-Haus" hat im Wesentlichen eine normale Hausform, aber die beiden Dachflächen sind bis auf den Boden heruntergezogen. Deshalb gibt es außen keine Seitenwände, aber zwei dreieckige Giebel. Dies sieht man in Bild 1. Dort erkennt man auch, dass der eigentliche Wohnbereich aus einem Quader besteht; außerdem gibt es einen Dachboden (Spitzboden) über dem Quader und zwei abgeschrägte Lagerräume links und rechts vom Quader.
Ganz perfekte Nur-Dach-Häuser bestehen nur aus dem Dach und zwei Giebeln, haben also keinen Quader im Inneren.
Bild 1
Bei den nun folgenden Optimierungsproblemen spielt die Länge des Dachfirsts (gleich der Länge des Quaders) keine Rolle, sie soll als fest gewählt angenommen werden. Alle weiteren Überlegungen betreffen nur den Querschnitt des Hauses, siehe Bild 2.
Bild 2
In Bild 2 sind die Maße des Quaders vermerkt: Breite \(~a~\), Höhe \(~b~\). Diese sollen im Folgenden immer als fest gewählt angenommen werden. Variabel sind dagegen die Basisbreite \(~c~\) des Hauses, die Haushöhe \(~h~\) und der Abstand \(~d~\) der linken unteren Quaderkante vom linken Fußpunkt des Dachs.
Mit "Giebel" ist im Folgenden das große Dreieck mit Basis \(~c~\) und Höhe \(~h~\) gemeint.
Bei festem \(~c~\) ist der Quader auf der Hausbasis verschieblich, indem \(~d~\) variiert wird; dann verändern sich auch die Neigungen der beiden Dachflächen, also im Querschnitt die Winkel des Giebels.
Aufgabe 1
Wie hängen \(~h~\) (und damit die Giebelfläche) und die Dachfläche bei festem \(~\textbf{c}~\) von \(~d~\) ab? Insbesondere sollen Grenzwerte und Extrema berechnet werden.
Aufgabe 2
Nun soll \(~\textbf{c}~\) variabel sein. Wie hängen \(~h~\), die Giebelfläche und die Dachfläche von \(~c~\) ab? Insbesondere sollen Grenzwerte und Extrema berechnet werden. Dabei ergibt sich die Wahl von \(~d~\) aus Aufgabe 1.
Lösung