Nach langer Zeit wieder eine Zahlenfolge.


Im Problem # 19 ging es schon einmal um eine Zahlenfolge. Das war vor fast 21 Jahren, als diese Website erst anderthalb Jahre alt war.

Es soll die Fortsetzung einer Folge  \((a_n)_{n \in N}\)  gefunden werden. Hier kommt die Aufgabenstellung:

Berechnen Sie  \(lim_{~n \rightarrow \infty}~a_n\)  für

\((a_n)_{n \in N}=(10000,121,100,31,24,22,20,17,16,15,14,13,12,11,10,~...)\).

Lösung

\[\textit{Die Lösung ist:}~~~~\lim_{~n \to \infty}~a_n=G\] Es handelt sich um die Folge  \(a_n=16~~\text{zur Basis}~n+1\) .

Mit \(~x_b~\) soll die Zahl \(~x~\) im  \(b-\)adischen Stellenwertsystem bezeichnet werden. Fehlt der Index \(~b~\),  so soll \(~b=10~\) unterstellt werden, also \(~x~\) im Dezimalsystem. Das gilt insbesondere für die Basis selbst; man schreibt z.B.  \(36_{12}\)  statt  \(36_{(12_{10})}\) .  Ist  \(b>10\) , so werden mehr als die Ziffern  \(0,~...,~9\)  benötigt; nach der  \(9\)  folgen dann  \(A,B,C,~...\)

Beispiel:  \(6B_{24}=11 \cdot 24^0 + 6 \cdot 24^1 = 155\)

Die Folge  \((a_n)_{n \in N}=(10000,121,100,31,24,22,20,17,16,15,14,13,12,11,10,~...)\) beginnt also mit  \(a_1=10000_2 = 1 \cdot 2^4=16\)  und  \(a_2=121_3 = 1 \cdot 3^0 + 2 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2=16\) .

Die letzte Zahl, die in der Folge angegeben wird, ist  \(a_{15}=10_{16} = 1 \cdot 16^1 = 16\) .

Ist  \(b>16\) ,  so besteht  \(16_b\)  nur aus der Einerstelle, also aus einer Ziffer:  \(16_b=16 \cdot b^0=G_b=16\) ,  denn  \(G\)  steht für die Dezimalzahl  \(16\) . \[(a_n)_{n \in N}=(10000,121,100,31,24,22,20,17,16,15,14,13,12,11,10,G,G,G~...)\]

Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π

Publiziert 2023-03-27          Stand 2021-01-06

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