Schwarz-weiße Würfel

          Die Lösung steht im unteren Teil der Seite.

Die Spieler A und B erhalten die folgenden Informationen über ein Spiel, in dem sie gegeneinander antreten sollen:

1.
Beide Spieler erhalten vom Spielleiter je einen Würfel. Diese Würfel weisen nur weiße und schwarze Seiten auf, auch rein weiße und rein schwarze Würfel sind möglich.



2.
Jeder Spieler sieht nur seinen eigenen Würfel, aber nicht den des anderen Spielers.

3.
So verläuft das Spiel: Beide Spieler würfeln gleichzeitig. A siegt, wenn beide Würfel dieselbe Farbe zeigen; bei verschiedenen Farben siegt B.

4.
Der Spielleiter versichert den Spielern, dass es sich um ein faires Spiel handelt. Er hat also die Farben Weiß und Schwarz so auf die beiden Würfel verteilt, dass beide Spieler eine Gewinnchance von  1/2  haben.


Die Spieler erkennen, dass nach der Zuteilung der Würfel kein Grund besteht, sich nicht über die Anzahl der weißen und schwarzen Würfelseiten auszutauschen  -  keiner der Spieler kann aus der Kenntnis des anderen Würfels einen Vorteil ziehen. So kommt es zu folgendem Gespräch, noch bevor das Würfeln beginnt:


Variante I

A zu B :  Ich weiß nichts über deinen Würfel.

Dann B zu A :  Ich weiß alles über deinen Würfel.

Dann A zu B :  Ich weiß immer noch nichts über deinen Würfel.


Variante II

A zu B :  Ich weiß alles über deinen Würfel.

Dann B zu A :  Ich weiß fast nichts über deinen Würfel; eine Möglichkeit kann ich aber ausschließen.


Fragen

Welche Verteilungen der Farben auf den Würfeln stecken hinter den beiden Varianten?

Welche anderen Varianten des Gesprächs sind möglich?
Das Gespräch soll sich nur um "Wissen" oder "Nicht-Wissen" über die Anzahl der weißen bzw. schwarzen Würfelseiten drehen.

Lösung

Hier sind die Antworten:

Variante I :  A's Würfel hat genau  3  weiße Seiten ;  B's Würfel kann alle  7  möglichen Färbungen aufweisen.

Variante II :  A's Würfel hat nicht genau  3  weiße Seiten ;  B's Würfel hat genau  3  weiße Seiten.

Das Gespräch erlaubt keine anderen Varianten als I und II.  A und B dürfen dabei natürlich vertauscht werden.


Die entscheidende Information in diesem Problem ist, dass es sich um ein faires Spiel handelt. Denn daraus folgt:

Mindestens einer der beiden Würfel muss  3  weiße und  3  schwarze Seiten haben.

Beweis :  Sei  a  die W'keit, dass A's Würfel Weiß zeigt, und  b  die W'keit, dass B's Würfel Weiß zeigt. Dann muss gelten:

ab + (1-a)(1-b) = 1/2   ⇔   a(2b-1) = b - 1/2

Ist  b = 1/2 ,  so kann  a  beliebig gewählt werden. Ist  b ≠ 1/2 ,  so folgt  a = 1/2 .

Wenn einer der beiden Würfel  -  sagen wir o.E. A's Würfel  -  genau  3  weiße Seiten hat, erkennt man die Fairness des Spiels leicht :  Welche Farbe B auch immer würfeln mag, diese Farbe erscheint bei A mit W'keit  1/2 .  Die Umkehrung erkennt man nicht so leicht, nämlich dass kein faires Spiel zustande kommt, wenn keiner der Würfel genau  3  weiße Seiten hat. Aber dafür wurde ja der Beweis geführt.

Variante I des Gesprächs findet genau dann statt, wenn A's Würfel genau  3  weiße Seiten hat. Nur dann weiß er nichts über B's Würfel, und somit kennt dann auch B die Beschaffenheit von A's Würfel.  -  Aus B's Antwort kann aber A nichts schließen; B kann einen Würfel mit  0  bis  6  weißen Seiten haben; insbesondere können beide Würfel gleich sein, mit je  3  weißen Seiten.

Variante II des Gesprächs findet genau dann statt, wenn A's Würfel nicht genau  3  weiße Seiten hat. Nur dann weiß er, dass B's Würfel genau  3  weiße Seiten haben muss. B weiß dann lediglich, dass A's Würfel nicht genau  3  weiße Seiten hat.

Die beiden Varianten decken alle möglichen Fälle ab:
   Nur A's Würfel hat genau  3  weiße Seiten   →   Variante I
   Nur B's Würfel hat genau  3  weiße Seiten   →   Variante II
   Beide Würfel haben jeweils genau  3  weiße Seiten   →   Variante I

Publiziert 2022-03-27          Stand 2019-12-16

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