Teilung des Quadrates in Quadrate


Wir wollen ein Quadrat in  n  Teilquadrate zerlegen. Das ist offenbar ganz einfach, wenn  n  eine Quadratzahl ist, siehe Bild 1 für  n = 1, n = 4  und  n = 9 .  Das Bild zeigt auch, dass es andere, wesentlich unregelmäßigere Lösungen gibt, hier für  n = 14 .



Bild 1


Eine Hauptaufgabe wird also sein, diejenigen  n  zu bestimmen, für die eine Zerlegung möglich ist.



Bild 2


Wir wollen in mehreren Einzelschritten vorgehen. Falls es nötig wird, einzelne Seitenlängen der Teilquadrate anzugeben, soll o.E. die Seitenlänge des Ursprungsquadrates  (n = 1)  als  1  gesetzt werden. Die Menge aller Zerlegungen in  n  Teilquadrate bezeichnen wir mit  Q_n .  Dabei sollen Zerlegungen, die durch Spiegelungen oder Rotationen auseinander hervorgehen, als eine einzige Zerlegung betrachtet werden, d.h. die Elemente von  Q_n  sind Äquivalenzklassen, für die es ausreicht, jeweils einen einzigen Vertreter graphisch darzustellen.


Aufgabe 1 
Durch Probieren können Sie ohne größere Mühe die Fälle  n = 1, 2, ..., 9  behandeln. 
Kleiner Tipp: 
Regel A:  Für  n > 1  müssen die  4  Ecken von  Q₁  nach der Zerlegung in  Q_n  von  4  disjunkten Quadraten besetzt sein. 

Der Genauigkeit halber sei angemerkt, dass hier "disjunkt" für "disjunkt mit Ausnahme der Randpunkte" verwendet wird.

Außerdem ist es hilfreich, sich die minimale oder maximale Anzahl von Teilquadraten zu überlegen, die an eine Seite von  Q₁  anstoßen. Für  n = 7  und  n = 8  sollte man sich anschauen, ob die Lösungen für kleinere  n  verwendet werden können.


Aufgabe 2 
Für alle  n > 8  kann man versuchen,  Q₆, Q₇  und  Q₈  weiter zu zerlegen.


Aufgabe 3 
Eindeutigkeit und Quasi-Eindeutigkeit :  Die Lösung von Aufgabe 2 führt auch noch auf ein weiteres Ergebnis, nämlich auf die unterschiedliche Anzahl der Äquivalenzklassen in  Q_n .  Unter Eindeutigkeit wollen wir hier verstehen, dass  Q_n  aus einer einzigen Äquivalenzklasse besteht, also  |Q_n| = 1 .  Unter Quasi-Eindeutigkeit wollen wir verstehen, dass  |Q_n| > 1 ,  aber die verschiedenen Größen der Teilquadrate und deren jeweilige Anzahlen sich in den Äquivalenzklassen nicht unterscheiden. Man kann sich dies wie ein Puzzle aus Quadraten vorstellen, das man auf mindestens zwei nicht-äquivalente Weisen zu einem großen Quadrat zusammensetzen kann, und dass außerdem keine weitere Lösung mit anderen Größen oder Anzahlen der Teilquadrate existiert. Es ist nicht unmittelbar klar, ob Quasi-Eindeutigkeit überhaupt vorkommt.

Für welche  n  gilt  |Q_n| ≤ 2 ?  Für welche  n  liegt Quasi-Eindeutigkeit vor ?  Bestimmen Sie auch den Umfang der einzelnen Äquivalenzklassen für diese  n .


In vereinfachter Form (ohne Eindeutigkeit und Äquivalenzklassen) erschien dieses Problem im Buch  A Walk Through Combinatorics  von Miklos Bona.



Lösung

Publiziert 2021-11-25          Stand 2019-04-18

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