Teilung des Quadrates in Quadrate

          Die Lösung steht im unteren Teil der Seite.

Wir wollen ein Quadrat in  n  Teilquadrate zerlegen. Das ist offenbar ganz einfach, wenn  n  eine Quadratzahl ist, siehe Bild 1 für  n = 1, n = 4  und  n = 9 .  Das Bild zeigt auch, dass es andere, wesentlich unregelmäßigere Lösungen gibt, hier für  n = 14 .



Bild 1


Eine Hauptaufgabe wird also sein, diejenigen  n  zu bestimmen, für die eine Zerlegung möglich ist.



Bild 2


Wir wollen in mehreren Einzelschritten vorgehen. Falls es nötig wird, einzelne Seitenlängen der Teilquadrate anzugeben, soll o.E. die Seitenlänge des Ursprungsquadrates  (n = 1)  als  1  gesetzt werden. Die Menge aller Zerlegungen in  n  Teilquadrate bezeichnen wir mit  Q_n .  Dabei sollen Zerlegungen, die durch Spiegelungen oder Rotationen auseinander hervorgehen, als eine einzige Zerlegung betrachtet werden, d.h. die Elemente von  Q_n  sind Äquivalenzklassen, für die es ausreicht, jeweils einen einzigen Vertreter graphisch darzustellen.


Aufgabe 1 
Durch Probieren können Sie ohne größere Mühe die Fälle  n = 1, 2, ..., 9  behandeln. 
Kleiner Tipp: 
Regel A:  Für  n > 1  müssen die  4  Ecken von  Q₁  nach der Zerlegung in  Q_n  von  4  disjunkten Quadraten besetzt sein. 

Der Genauigkeit halber sei angemerkt, dass hier "disjunkt" für "disjunkt mit Ausnahme der Randpunkte" verwendet wird.

Außerdem ist es hilfreich, sich die minimale oder maximale Anzahl von Teilquadraten zu überlegen, die an eine Seite von  Q₁  anstoßen. Für  n = 7  und  n = 8  sollte man sich anschauen, ob die Lösungen für kleinere  n  verwendet werden können.


Aufgabe 2 
Für alle  n > 8  kann man versuchen,  Q₆, Q₇  und  Q₈  weiter zu zerlegen.


Aufgabe 3 
Eindeutigkeit und Quasi-Eindeutigkeit :  Die Lösung von Aufgabe 2 führt auch noch auf ein weiteres Ergebnis, nämlich auf die unterschiedliche Anzahl der Äquivalenzklassen in  Q_n .  Unter Eindeutigkeit wollen wir hier verstehen, dass  Q_n  aus einer einzigen Äquivalenzklasse besteht, also  |Q_n| = 1 .  Unter Quasi-Eindeutigkeit wollen wir verstehen, dass  |Q_n| > 1 ,  aber die verschiedenen Größen der Teilquadrate und deren jeweilige Anzahlen sich in den Äquivalenzklassen nicht unterscheiden. Man kann sich dies wie ein Puzzle aus Quadraten vorstellen, das man auf mindestens zwei nicht-äquivalente Weisen zu einem großen Quadrat zusammensetzen kann, und dass außerdem keine weitere Lösung mit anderen Größen oder Anzahlen der Teilquadrate existiert. Es ist nicht unmittelbar klar, ob Quasi-Eindeutigkeit überhaupt vorkommt.

Für welche  n  gilt  |Q_n| ≤ 2 ?  Für welche  n  liegt Quasi-Eindeutigkeit vor ?  Bestimmen Sie auch den Umfang der einzelnen Äquivalenzklassen für diese  n .


In vereinfachter Form (ohne Eindeutigkeit und Äquivalenzklassen) erschien dieses Problem im Buch  A Walk Through Combinatorics  von Miklos Bona.

Lösung

Aufgabe 1 
n = 1, 2, ..., 9 .

Wegen Regel A sind  Q₂  und  Q₃  leere Mengen.
Für  Q₄  wurde in der Aufgabenstellung schon eine Lösung angegeben. Diese Lösung ergibt sich auch direkt aus Regel A, da verschieden große Teilquadrate zu einer Überlappung führen würden. Bild 3 zeigt diesen Ansatz nicht nur für  n = 4 ,  sondern auch gleich für  n = 5 ,  denn in beiden Fällen liegen an mindestens drei Seiten (im Bild links, unten und rechts) genau zwei Teilquadrate mit den Seitenlängen  a  und  1-a .  Damit sich die Teilquadrate in Bild 3 nicht überlappen, muss  a = 0,5  sein. Insbesondere ist  Q₅  die leere Menge.



Bild 3


Für  n = 6  gibt es (mindestens) zwei Seiten mit genau zwei angrenzenden Teilquadraten. Diese Seiten können nicht einander gegenüber liegen. Dies sieht man in der linken Skizze von Bild 4; dort müsste  a = b = 0,5  wie in  Q₄  sein, damit sich die Teilquadrate nicht überlappen  -  aber von  Q₄  kommt man nicht nach  Q₆ ,  da wir schon gesehen haben, dass sich ein Quadrat nicht in zwei oder drei Teilquadrate zerlegen lässt.

Also erhält man zunächst eine Konstellation wie in der zweiten Skizze von Bild 4. Damit sind drei Teilquadrate vergeben; das größte unten rechts muss eine Seitenlänge  a ≥ 0,5  haben, damit sich die anderen beiden nicht überlappen.  a = 0,5  ist nicht möglich, wie wir schon bei der linken Skizze gesehen haben. Die dritte Skizze in Bild 4 zeigt den nächsten Schritt: Es sind noch drei Teilquadrate zu positionieren, oben links mit Seitenlänge  1 - a ,  die beiden anderen grenzen links und oben an die Seiten des Ursprungsquadrates  Q₁  an. Offenbar wurde in der Skizze  a  zu groß gewählt, denn links und oben sieht man Rechtecke, die nicht quadratisch sind. Ihre Seitenlänge entlang von  Q₁  ist  2a - 1 .  Damit dort Quadrate entstehen, muss  2a - 1 = 1 - a ,  also  a = 2/3  sein; dies sieht man in der rechten Skizze von Bild 4  -  damit ist  Q₆  konstruiert. Die Äquivalenzklasse besteht aus  4  Elementen, da das große Quadrat in jeder der  4  Ecken liegen kann.



Bild 4    n = 6


Zu  n = 7  und  n = 8  wurde schon in der Aufgabenstellung ein Tipp gegeben.  Q₇  erhält man aus  Q₄ ,  indem man eines der Teilquadrate viertelt. Die zugehörige Äquivalenzklasse enthält  4  Elemente, da jedes der  4  Teilquadrate in  Q₄  geviertelt werden kann (siehe Bild 5).

Für  Q₈  dient  Q₆  als Vorbild:

Regel B:  Für alle geraden  n ≥ 4  kann man ein Quadrat der Seitenlänge  1 - 2/n  in eine Ecke legen, so dass es an zwei Seiten von einem "Saum" von  n - 1  gleich großen Quadraten der Seitenlänge  2/n  umgeben wird.

Für  n = 8  erhalten wir auf diese Weise Teilquadrate mit den Seitenlängen  3/4  und  1/4 .

Wir ziehen in Bild 5 ein Zwischenfazit:



Bild 5

Zwischenstand:

•     In Bild 5 mit den bereits behandelten Zerlegungen wurde  n = 9  mit aufgenommen, weil uns das schon aus der Aufgabenstellung bekannt war.


•     Vorsicht: Damit sind  Q₆ ... Q₉  noch nicht geklärt, da wir noch nicht wissen, aus wievielen Äquivalenzklassen die  Q_n  bestehen. Dies wird in Aufgabe 3 behandelt, wo wir für die einzelnen  n  untersuchen, ob es noch weitere Lösungen als die in Bild 5 dargestellten gibt.


•     Für  n > 9  kennen wir jetzt schon viele Zerlegungen, nämlich für alle geraden und für alle quadratischen  n .  Insbesondere kennen wir für  n = 14  schon zwei verschiedene Lösungen.

Zusammenfassung 0   Äquivalenzklassen       n = 2    keine Lösung       n = 3    keine Lösung       n = 5    keine Lösung 1   Äquivalenzklasse   →  Eindeutigkeit       n = 1    Klasse mit  1  Element       n = 4    Klasse mit  1  Element       n = 6    Klasse mit  4  Elementen 2   Äquivalenzklassen       n = 7    einziger Fall für Quasi-Eindeutigkeit    beide Klassen mit je  4  Elementen > 2   Äquivalenzklassen       n ≥ 8

Publiziert 2022-01-04          Stand 2019-04-18

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