Zahlen mit  r  Teilern,  r  prim


Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen  n  mit genau  r  Teilern,  r  prim.

1  und  n  gelten als Teiler von  n .

Lösung

Über die Anzahl von Teilern gibt es natürlich Lehrsätze, aber auch durch Ausprobieren erkennt man schnell:

    Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern;
    alle anderen natürlichen Zahlen haben eine gerade Anzahl von Teilern.

Dieses Ergebnis findet man auch in Problem # 93.

Das lässt sich leicht erklären: Die Teiler tauchen in Paaren auf, also als  t  und  n/t ;  mit einer Ausnahme: Ist  n  eine Quadratzahl, so hat der Teiler  √n  keinen Partner.

Ist  r = 2 , so ist  n  eine (beliebige) Primzahl.

Sei nun  r > 2 .  Die Primfaktoren  p_j  von  n  müssen alle in gerader Potenz auftreten, da  n  eine Quadratzahl ist.  n  lässt sich also schreiben als:

n = p₁^2q₁ × p₂^2q₂ ×  ... × p_m^2q_m

In den Teilern von  n  kann jeder Primfaktor  p_j 0-mal bis  2q_j-mal vorkommen. Man erhält also alle Teiler, indem man alle  m- tupel durchläuft, die an der  j- ten Stelle ein Element aus {0, ..., 2q_j} haben. Die Anzahl aller Teiler ist somit das folgende Produkt:

r = Π_j=1..m(2q_j + 1)

Bis hierhin haben wir nur benutzt, dass  r  ungerade ist (und somit  n  eine Quadratzahl). Jetzt kommt ins Spiel, dass  r  eine Primzahl ist. Die Produkte für  r  und  n  bestehen also nur aus einem einzigen Faktor; es gilt  m = 1 .

r = 2q₁ + 1      n = p₁^2q₁


Zusammenfassung:
n  hat  r  Teiler mit  r  prim   ⇔   n = p^r-1, p  prim


Beispiel:  Natürliche Zahlen mit genau  5  Teilern sind  4. Potenzen von beliebigen Primzahlen, also etwa  81 = 3⁴  mit den Teilern  3^j : 1, 3, 9, 27, 81 .



Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π

Publiziert 2021-09-26          Stand 2018-09-26

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