Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 113
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Führungsduo


Der Verein "Random e.V." betreibt die Stochastik als Hobby. Er wird geleitet durch ein Führungsduo, das natürlich nicht gewählt, sondern aus den  \(n\)  Mitgliedern ausgelost wird. Die Vereinssatzung fordert, dass die Zusammensetzung aus Frauen und Männern gewährleistet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens  \(1/2\)  eine Frau und ein Mann im Führungsduo sind.

1. Wieviele Frauen können dem Verein angehören?

2. Es wird eine Verschärfung der Satzung beschlossen: Nunmehr wird eine Wahrscheinlichkeit von mehr als  \(1/2\)  gefordert. Wieviele Frauen können dann dem Verein angehören?

3. Mit welcher maximalen Wahrscheinlichkeit gibt es ein gemischtes Führungsduo?



Lösung



Der Verein hat  \(n\)  Mitglieder, davon  \(n_1\)  Frauen und  \(n_2\)  Männer.  \(p\)  stehe für die Wahrscheinlichkeit, dass ein gemischtes Führungsduo ausgelost wird.

Wir betrachten die Auslosung als Laplace-Experiment und erhalten \[p = \frac{n_1\cdot n_2}{n \choose 2}\] Im Nenner steht der Binomialkoeffizient für die Anzahl der gleichwahrscheinlichen Ziehungen von Paaren aus den Mitgliedern. Günstig für ein gemischtes Duo sind  \(n_1\cdot n_2\)  Ziehungen.


1.

Welche Werte darf  \(n_1\)  annehmen (bei festem  \(n\) ), damit  \(p \geq 1/2\)  möglich wird? \[p \geq 1/2~~~~\Leftrightarrow~~~~n_1(n-n_1) \geq \frac{n(n-1)}{4}~~~~\Leftrightarrow~~~~n_1^2-n_1 \cdot n+\frac{n(n-1)}{4} \leq 0\] Die Nullstellen des quadratischen Polynoms sind \((n \pm \sqrt{n})/2\) ,  also gilt \[\textbf{(1)}~~~~n_1 \in \{~\lceil (n- \sqrt{n})/2 \rceil ,~...~, \lfloor (n+ \sqrt{n})/2 \rfloor~\}\] Dabei steht  \(\lceil \cdot \cdot \rceil\)  für das ganzzahlige Aufrunden und  \(\lfloor \cdot \cdot \rfloor\)  für das ganzzahlige Abrunden. Aus Symmetriegründen lässt sich  \(n_1\)  durch  \(n_2\)  ersetzen.

Beispiel:  \(n=11\)
n  p
 0  0
 1  0.182
 2  0.327
 3  0.436
 4  0.509
 5  0.545
 6  0.545
 7  0.509
 8  0.436
 9  0.327
10  0.182
11  0

\(~~~~~~~~~~\rightarrow~~n_{1,2} \in \{4,5,6,7\}\)


2.

Wann kommt  \(p=1/2\)  vor ?  Ersetzt man oben in den Ungleichungen für das quadratische Polynom  \("\geq"\)  bzw. \("\leq"\)  durch  \("="\), so müssen die Nullstellen ganzzahlig sein, also ist  \(n\)  eine Quadratzahl  \(n=m^2\) ,  d.h.  \(n_1=m(m \pm 1)/2\)  und  \(n_2=m(m \mp 1)/2\) . Die Anzahlen der Frauen und Männer müssen also zwei aufeinanderfolgende Binomialkoeffizienten  \(m \choose 2\)  und  \(m+1 \choose 2\)  sein.

Beispiel:  \(n=16\)   (Quadratzahl, also kommt  \(p=1/2\)  vor)
n  p
 0  0
 1  0.125
 2  0.233
 3  0.325
 4  0.4
 5  0.458
 6  0.5
              \(n_1=6={4 \choose 2}\)
 7  0.525
 8  0.533
 9  0.525
10  0.5
              \(n_1=10={5 \choose 2}\)
11  0.458
12  0.4
13  0.325
14  0.233
15  0.125
16  0

\(~~~~~~~~~~\rightarrow~~n_{1,2} \in \{7,8,9\}\)       Unter 1. wäre  \(n_{1,2} \in \{6,7,8,9,10\}~\).

Der erlaubte Bereich für  \(n_1\)  aus 1. gilt also hier nur für nicht-quadratische  \(n\) , nämlich \[n_1 \in \{~\lceil (n- \sqrt{n})/2 \rceil ,~...~, \lfloor (n+ \sqrt{n})/2 \rfloor~\}\] Für quadratische  \(n\)  müssen wir hier den Fall  \(p=1/2\)  ausschließen und erhalten mit Hilfe von  \(m= \sqrt n\)  (s.o): \[n_1 \in \{~(n- \sqrt{n})/2+1 ,~...~, (n+ \sqrt{n})/2-1~\}\] Daraus erhält man eine einheitliche Formel für alle  \(n\)  mit: \[\textbf{(2)}~~~~n_1 \in \{~\lfloor (n- \sqrt{n})/2 \rfloor +1 ,~...~, \lceil (n+ \sqrt{n})/2 \rceil -1~\}\] (Man überprüfe das oben in den Beispielen für  \(n=11\)  und  \(n=16\)  Mitglieder.)


3.

\(p\)  ist quadratisch in  \(n_1\) .  Für das Maximum muss nur der Zähler  \(n_1 \cdot n_2=n_1(n-n_1)=-n_1^2+n \cdot n_1\)  betrachtet werden. Das führende Minus ergibt ein absolutes Maximum für die zugehörige stetige Funktion  \(f(x)=-x^2+n \cdot x\) .

\(f'(x)=-2x+n=0\)  führt auf  \(x=n/2\) .

\(n\)  gerade :  Das Maximum für  \(p\)  wird (nicht überraschend) angenommen mit \[\textbf{(3)}~~~~n_1=n_2=n/2~~~~~~\rightarrow~~~~~~p_{max}=\frac{n}{2(n-1)}\] Im Beispiel oben für  \(n=16\)  liegt das Maximum bei  \(n_{1,2}=8\)  mit  \(p_{max}=8/15\) .

\(n\)  ungerade :  Das Maximum für  \(p\)  wird (wegen der Symmetrie der Parabel) angenommen mit \[\textbf{(4)}~~~~n_{1,2}=(n \pm1)/2~~~~~~\rightarrow~~~~~~p_{max}=\frac{n+1}{2n}\] Im Beispiel oben für  \(n=11\)  liegt das Maximum bei  \(n_{1,2} \in \{5,6\}\)  mit  \(p_{max}=6/11\) .

\(p_{max}\)  fällt monoton mit wachsendem  \(n\) ,  ist identisch für je zwei aufeinanderfolgende  \(n\)  (erst ungerade, dann gerade), und  \(lim_{~n \rightarrow \infty~}p=1/2\) ,  siehe folgende Tabelle:

 n   pmax
  2  1
  3  0.667
  4  0.667
  5  0.6
  6  0.6
  7  0.571
  8  0.571
  9  0.556
 10  0.556
 11  0.545
 12  0.545
 13  0.538
 14  0.538
...
...
 61  0.508
 62  0.508
...
...
395  0.501
396  0.501
...



Publiziert 2021-01-03          Stand 2017-06-17


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