Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 112
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Ellipse als Kegelschnitt

          Die Lösung steht im unteren Teil der Seite.

Dass Ellipsen als ebene Schnitte durch Kegel auftreten, ist natürlich wohlbekannt. Hier soll es nicht um den Nachweis gehen, dass bei bestimmten Schnitten durch Kegel (hier immer als senkrechte Kreiskegel verstanden) Ellipsen als Schnittkurven entstehen. Wir wollen die Umkehrung untersuchen:

Gegeben sei eine Ellipse mit den Halbachsen  a  und  b  sowie ein Kegel. Wie muss man durch den Kegel schneiden, um die vorgegebene Ellipse zu erhalten ?

Welche Probleme stecken in dieser Fragestellung ?

-  Geht das mit jedem Kegel ?

-  Wo liegen der obere und der untere Einschnittpunkt ?

-  In welchem Winkel muss man in den Kegel einschneiden ?



Hier ist ein Vorschlag, wie man den Kegel und die Schnittfläche in einem rechtwinkligen (x,y,z)-Koordinatensystem vereinfacht darstellen kann. Man skizziert in der oberen (x,z)-Halbebene ( z  0 ) einen ebenen Längsschnitt (also  y = 0 ) durch den Kegel; dieser Schnitt soll durch die Mittelachse des Kegels verlaufen; die Spitze des Kegels soll in (0,0) liegen. In Bild 1 sieht man in beiden Skizzen die Ränder eines Kegel-Längsschnitts als schräge Linien. Es wurden zwei Skizzen angefertigt, um zu zeigen, wie die Öffnungswinkel der Kegel sowie die Kippwinkel (der Mittelachse gegenüber der  z-Achse) variieren können.  -  Die Geraden parallel zur  x-Achse stehen für den Schnitt durch den Kegel, der die vorgegebene Ellipse erzeugen soll.

Zur weiteren Vereinfachung kann man annehmen, dass  a  b  ist und dass der Kegel aus einer senkrechten Lage (Mittelachse auf der  z-Achse) nach rechts (also im Uhrzeigersinn) gekippt wird.

Schnitte

Bild 1


Noch mal zur Ausgangssituation: Gegeben sind  a  b  und der halbe Öffnungswinkel des Kegels  φ .  Gesucht sind der Kippwinkel  α  und der Abstand  d  der achsenparallelen Geraden von der  x-Achse; siehe Bild 2.

Schnitt mit Winkeln

Bild 2   Ellipsenlängsschnitt mit Mittelachse


Man wird feststellen, dass es u.a. für den Einheitskegel mit  φ = 45°  immer eine Lösung gibt. Man erhält dann vereinfachte Formeln für  α (wenn man eine trigonometrische Formel für den doppelten Winkel anwendet) und  d .



Lösung



Die Winkel können die folgenden Werte annehmen:    φ  (0°, 90°)    α  [0°, 90°- φ)

Steht der Kegel senkrecht ( α = 0 ),  so ist sein Schnitt parallel zur (x,y)-Ebene in der Höhe  z  ein Kreis mit Radius  (tan φ)z .  Also wird der Kegel durch die Gleichung beschrieben:

x2 + y2 = (rz)2     r = tan φ

Mit den Abkürzungen  c = cos α  und  s = sin α  erhält man den um  α  gekippten Kegel durch die Koordinatentransformation:

x  →  cx - sz
z  →  sx
 + cz

Dies führt auf die Gleichung für den gekippten Kegel (Längsschnitte in den Bildern 1 und 2):

(cx - sz)2 + y2 = r2(sx + cz)2

Nun macht man den Schnitt mit der Ebene, setzt also  z = d ,  multipliziert die Gleichung aus und ordnet die Terme so, dass eine Ellipsengleichung entsteht; zur Abkürzung wird  p = c2 - r2s2  gesetzt:

x2 - x·2csd(1+r2)/p + (csd(1+r2)/p)2 + y2/p = d2((r2c2-s2)/p + (cs(1+r2)/p)2)
                     quadr. Ergänzung                         quadr. Ergänzung

⇒  (x - csd(1+r2)/p)2 + y2/p = (dr/p)2

Es soll noch gezeigt werden, dass  p  positiv ist:   c2 - r2s2 > cos2α - tan2(90°-α)sin2α = cos2α - cot2α sin2α = 0

Schreibt man die Ellipsengeichung in der Normalform  (x - x0)2/a2 + y2/b2 = 1 ,  so folgt:

a2 =(dr/p)2    b2 = p·a2

a, b, r  sind vorgegeben, also können wir  d  und  α  berechnen:

b2/a = dr   ⇒   d = b2/(ra)

b2/a2 = p = cos2 α - r2(1-cos2 α) = (1+r2)cos2 α - r2   ⇒   α = arccos((b2/a2 + r2)/(1+r2))1/2


Also lässt sich jede Ellipse mit einem Kegelschnitt durch einen beliebigen senkrechten Kreiskegel erzeugen.


Wo wird in den Kegel eingeschnitten? In Bild 3 wurde der Kegel gegenüber den Bildern 1 und 2 wieder aufgerichtet.  v1  und  v2  beschreiben den oberen und unteren Einschnittpunkt als den jeweiligen Abstand von der Kegelspitze, entlang den Flanken des Kegels gemessen.  h1  und  h2  sind die entsprechenden Abstände entlang der Mittelachse.

aufrechter Schnitt

Bild 3


vi  ergeben sich direkt aus Bild 2. Die auf der senkrechten Achse abgetragene Strecke der Länge  d  bildet nach links und nach rechts jeweils eine Kathete mit  vi  als Hypotenuse. Links:  d/v1 = cos(φ-α) ;  rechts:  d/v2 = cos(φ+α) .

v1 = d/cos(φ-α)    v2 = d/cos(φ+α)

Der Schnitt durch den Kegel in Bild 3 wird von der Geraden gebildet, die mit der  x-Achse den Winkel  α  einschließt. Diese Gerade entsteht aus  z = d  durch Drehung um  α  im Gegenuhrzeigersinn, also durch  z → -sx + cz .  Für  hi  berechnen wir also die  z-Koordinate des Schnittpunkts von  -sx + cz = d  und  x = -rz  bzw.  x = rz :

h1 = d/(c+rs)    h2 = d/(c-rs)


Damit ist das Problem gelöst. Bei einer gegebenen Ellipse und einem gegebenen Kegel ist der einfachste Weg,  α  und  d  nach den angegebenen Formeln zu berechnen und dann auf dem Mantel im Abstand  v1  von der Spitze schräg im Winkel  α  einzuschneiden.


Wir wollen in den Bildern 4 und 5 zwei Beispiele zeigen  -  jeweils links den waagerechten Schnitt durch den gekippten Kegel, in der Mitte den aufgerichteten Kegel und rechts die Projektion der Ellipse auf die (x,y)-Ebene:

1. Beispiel

Bild 4   a = 1.9  b = 1.09  φ = 53°      α  29.53°  d  0.4712  v1  0.5137  v2  3.6262  h1  0.3091  h2  2.1823



2. Beispiel

Bild 5   a = 3.95  b = 1.95  φ = 29°      α  49.52°  d  1.7367  v1  1.8543  v2  8.7245  h1  1.6218  h2  7.6307


Einheitskegel

Da wir jede beliebige Ellipse für jeden Ellipsen-Öffnungswinkel    erzeugen können, geht dies insbesondere für den Einheitskegel mit  r = 1 ,  also  φ = 45° .  Wir erhalten mit den oben hergeleiteten Formeln für  d  und  α  sofort:

d = b2/a

sowie   b2/a2 = 2cos2 α - 1 = cos  ,  also:

α = (arccos b2/a2)/2

Für  v1  berechnen wir zunächst  cos(45°- α) = (cos α + sin α)/√2 = (cos α + (1 - cos2α)1/2)/√2

Hier ist es es günstiger, mit  α = arccos((b2/a2 + 1)/2)1/2  zu rechnen:

cos(45°- α) = ((1 + b2/a2)1/2 + (1 - b2/a2)1/2)/2

v1 = d/cos(45°- α) = 2d/((1 + b2/a2)1/2 + (1 - b2/a2)1/2) =
   = (2b2/a)((1
 + b2/a2)1/2 - (1 - b2/a2)1/2)/(2b2/a2) =
   = a·((1
 + b2/a2)1/2 - (1 - b2/a2)1/2)

v2  berechnet man analog und erhält:

v2,1 = a·((1 + b2/a2)1/2 ± (1 - b2/a2)1/2)

In Bild 3 erkennt man wegen  φ = 45°  sofort, dass

hi = vi /√2


Publiziert 2020-09-27          Stand 2017-04-23


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