Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 108
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Ist die Zahl  999...99  durch die Anzahl ihrer Ziffern teilbar?


Sei  n  die Anzahl der Neunen. Für  n = 3  könnte man die Frage auch so stellen:

Kann man die Menge aller maximal 3-stelligen natürlichen Zahlen in 3 gleich große Teilmengen zerlegen?

Natürlich kann man das (die natürlichen Zahlen  N  sollen hier immer mit  1  beginnen). Denn  999  ist durch  3  teilbar.

Für  n = 2  geht das nicht, und offenbar auch nicht, wenn  n  eine andere gerade Zahl ist.  -  Geht es auch für andere Zahlen als  3 ?  Gibt es sogar unendlich viele  n ,  für die sich die  n-stelligen Zahlen in  n  gleich große Teilmengen zerlegen lassen?

Wir probieren das mal aus. Ein kleines Programm hilft uns dabei. Es zeigt sich, dass die gesuchten  n  selten sind. Die Zerlegung ist möglich für folgende  n :

   1
   3
   9
  27
  81
 111
 243
 333
 729
 999
2187
2997
4107
...


Das bedeutet also konkret, dass z.B. 10243  bei Division durch  243  den Rest  1  lässt.  -  Die Zahlen aus der Liste (wir wissen noch nicht, ob diese endlich oder unendlich lang ist) wollen wir "erlaubte" Zahlen nennen. Offenbar müssen erlaubte Zahlen ungerade sein, denn auch  10n - 1  ist ungerade.

Frage 1


Für manche  n ,  wie z.B.  9, 111, 333, 999  erkennt man unmittelbar, dass es sich um erlaubte Zahlen handelt. Nehmen wir beispielsweise  n = 333 :  Die Menge der  333-stelligen natürlichen Zahlen hat  999...999  Elemente; diese Anzahl besteht aus  333  Neunen, die sich in  111  Dreiergruppen einteilen lassen:  999.999.999. ... .999 . Man sieht jetzt, dass man durch  333  teilen kann und ohne Rest  3.003.003. ... .003  erhält.

Unser Problem reduziert sich also auf die Frage, ob es unendlich viele  n  N  gibt, für die  n | 10n -1  gilt. Bis hierhin sind wir (stillschweigend) vom Dezimalsystem ausgegangen. Aber die Fragestellung könnte auch für andere Basen formuliert werden, z.B. so:

Frage 2

Die naheliegende nächste Frage wäre dann:

Ehe man sich mit der Frage nach den unendlich vielen erlaubten  n  für die Dezimaldarstellung und die Hexadezimaldarstellung beschäftigt, erscheint es einfacher, gleich die allgemeine Problemstellung zu behandeln:

Frage 3
Frage 3 lässt sich wieder umformulieren: Gilt  n | bn -1  für unendlich viele  n  N ?  Da nicht verlangt wird, alle erlaubten  n  anzugeben, reicht es, eine streng monoton wachsende erlaubte Folge anzugeben. Das erweist sich für  b > 2  als recht einfach, wenn man für den Übergang von einem erlaubten  n  zu einem größeren einen Satz anwendet, der hier als Frage 4 formuliert wird.


Frage 4

Warum wurde in Frage 3 von  b > 2  ausgegangen? Nun, für Dualzahlen  ( b = 2 )  gilt nicht das Gleiche wie für andere Basen. Das genaue Gegenteil ist richtig:

n | 2n -1  gilt nur für  n = 1 .

Das gehört allerdings nicht zur Aufgabenstellung. Ein Beweis kann hier nachgelesen werden.



Die Lösung erscheint Ende September.


Publiziert 2019-08-27          Stand 2016-12-06


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