Ist die Zahl 999...99 durch die Anzahl ihrer Ziffern teilbar?
Sei n die Anzahl der Neunen. Für n = 3 könnte man die Frage auch so stellen:
Kann man die Menge aller maximal 3-stelligen natürlichen Zahlen in 3 gleich große Teilmengen zerlegen?
Natürlich kann man das (die natürlichen Zahlen N sollen hier immer mit 1 beginnen). Denn 999 ist durch 3 teilbar.
Für n = 2 geht das nicht, und offenbar auch nicht, wenn n eine andere gerade Zahl ist. - Geht es auch für andere Zahlen als 3 ? Gibt es sogar unendlich viele n , für die sich die n-stelligen Zahlen in n gleich große Teilmengen zerlegen lassen?
Wir probieren das mal aus. Ein kleines Programm hilft uns dabei. Es zeigt sich, dass die gesuchten n selten sind. Die Zerlegung ist möglich für folgende n :
1
3
9
27
81
111
243
333
729
999
2187
2997
4107
...
Das bedeutet also konkret, dass z.B. 10243 bei Division durch 243 den Rest 1 lässt. - Die Zahlen aus der Liste (wir wissen noch nicht, ob diese endlich oder unendlich lang ist) wollen wir "erlaubte" Zahlen nennen. Offenbar müssen erlaubte Zahlen ungerade sein, denn auch 10n - 1 ist ungerade.
Frage 1
- Warum enden erlaubte Zahlen nie mit der Ziffer 5 ?
Für manche n , wie z.B. 9, 111, 333, 999 erkennt man unmittelbar, dass es sich um erlaubte Zahlen handelt. Nehmen wir beispielsweise n = 333 : Die Menge der 333-stelligen natürlichen Zahlen hat 999...999 Elemente; diese Anzahl besteht aus 333 Neunen, die sich in 111 Dreiergruppen einteilen lassen: 999.999.999. ... .999 . Man sieht jetzt, dass man durch 333 teilen kann und ohne Rest 3.003.003. ... .003 erhält.
Unser Problem reduziert sich also auf die Frage, ob es unendlich viele n ∈ N gibt, für die n | 10n -1 gilt. Bis hierhin sind wir (stillschweigend) vom Dezimalsystem ausgegangen. Aber die Fragestellung könnte auch für andere Basen formuliert werden, z.B. so:
Frage 2
- Kann man die Menge aller maximal 3-stelligen natürlichen Zahlen in Hexadezimaldarstellung in 3 gleich große Teilmengen zerlegen?
(Antwort: Ja.)
- Geht das auch für andere Zahlen als 3 ?
Die naheliegende nächste Frage wäre dann:
- Gibt es sogar unendlich viele n , für die sich die Menge der n-stelligen Zahlen in Hexadezimaldarstellung in n gleich große Teilmengen zerlegen lässt?
Ehe man sich mit der Frage nach den unendlich vielen erlaubten n für die Dezimaldarstellung und die Hexadezimaldarstellung beschäftigt, erscheint es einfacher, gleich die allgemeine Problemstellung zu behandeln:
Frage 3
- Gibt es unendlich viele natürliche Zahlen n , für die sich die Menge der n-stelligen Zahlen in b-adischer Darstellung in n gleich große Teilmengen zerlegen lässt?
Die b-adische Darstellung ist die Darstellung mit Basis b . Hier soll b > 2 gelten.
Frage 3 lässt sich wieder umformulieren: Gilt n | bn -1 für unendlich viele n ∈ N ? Da nicht verlangt wird, alle erlaubten n anzugeben, reicht es, eine streng monoton wachsende erlaubte Folge anzugeben. Das erweist sich für b > 2 als recht einfach, wenn man für den Übergang von einem erlaubten n zu einem größeren einen Satz anwendet, der hier als Frage 4 formuliert wird.
Frage 4
- Zeigen Sie, dass a-1 | ak -1 für a, k ∈ N, a ≥ 2
Warum wurde in Frage 3 von b > 2 ausgegangen? Nun, für Dualzahlen ( b = 2 ) gilt nicht das Gleiche wie für andere Basen. Das genaue Gegenteil ist richtig:
n | 2n -1 gilt nur für n = 1 .
Das gehört allerdings nicht zur Aufgabenstellung. Ein Beweis kann hier nachgelesen werden.
Lösung
Publiziert 2019-08-27 Stand 2016-12-06
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Manfred Börgens |
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