Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 106
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Parabel im Quadrat  


f  sei ein quadratisches Polynom der Form  f(x) = x2 + b.x + c  mit  b,c  R .

Für welche  b,c  gilt  f: [-1,1] → [-1,1] ?

Gesucht sind also diejenigen Parabeln  f(x) = x2 + b.x + c ,  deren Graph für  x  [-1,1]  vollständig im Quadrat  [-1,1]2  liegt.

erstes Bild



Lösung



Man erkennt schnell, dass  |b|  1  und  |c|  1  gelten muss:  Aus  f(0)= c  folgt  |c|  1 ;  aus  f(-1)= 1 - b + c  [-1,1]  und  f(1)= 1 + b + c  [-1,1]  folgt  2b = f(1)-f(-1)∈ [-2,2] .

Hier geht es um Parabeln, die sich nach oben öffnen, also ein striktes absolutes Minimum haben. Deshalb sind nur zwei Bedingungen zu überprüfen:

a)  Die beiden Randpunkte müssen in  [-1,1]  liegen, es müssen also  b  und  c  gefunden werden, für die  f(-1)∈ [-1,1]  und  f(1)∈ [-1,1]  gilt.

b)  Wir werden ohne Mühe feststellen, dass das Minimum der Parabel bei  x = xextr  [-1/2, 1/2]  angenommen wird; dort gilt  f'(xextr) = 0 .  Die zweite Bedingung lautet also:  f(xextr)  [-1,1] .

Zu a)

a) ist teilweise schon im ersten Abschnitt untersucht worden, aber dort steht nur die Richtung
f(-1)∈ [-1,1]  und  f(1)∈ [-1,1]  ⇒ ... ,  aber keine Äquivalenz.

Um zu einer Äquivalenz zu gelangen, gehen wir in vier Schritten vor:

(1)   f(1)  1    1 + b + c  1    c  -b

(2)   f(1)  -1    1 + b + c  -1 .  Dies ist wegen  b  -1  und  c  -1  immer erfüllt.

(3)   f(-1)  1    1 - b + c  1    c  b

(4)   f(-1)  -1    1 - b + c  -1 .  Dies ist wegen  b  1  und  c  -1  immer erfüllt.

(1) - (4) lassen sich zusammenfassen als

(5)   c  -|b| .  Insbesondere muss  c  0  gelten.

c, b für Ränder

Bild 1

Die blau-grüne Fläche in Bild 1 steht für  c  b ,  die gelb-grüne Fläche für  c  -b .  Die grüne Fläche ist die Schnittmenge und enthält die Paare (b,c) mit  c  -|b| ;  genau für diese liegen die Randpunkte der Parabel in  [-1,1] .

Zu b)

Innerhalb der grünen Fläche in Bild 1 müssen jetzt noch diejenigen Punkte (b,c) bestimmt werden, für die das Minimum des Graphen in  [-1,1]  liegt.

Man stellt zunächst fest, dass das absolute Minimum der Parabel für ein  x = xextr  [-1/2, 1/2]  angenommen wird:

f'(x) = 2x + b = 0  ⇔  x = -b/2

Also ist  xextr = -b/2  [-1/2, 1/2]  und  f(xextr) = -b2/4 + c  0 .  Der Tiefpunkt der Parabel liegt insbesondere immer in der unteren Halbebene.

In der grünen Fläche in Bild 1 erfüllen genau die Paare (b,c) mit  -b2/4 + c  [-1,0] ,  also  b2/4 - 1 ≤ c ≤ b2/4  die Bedingung, dass  f(xextr)  [-1,1] .  c  b2/4  ist aber wegen  c  0  trivialerweise erfüllt, so dass die Bedingung lediglich lautet:

(6)   c ≥ b2/4 - 1 

Für welche  b  ist (6) möglich? Man kann hier schon einmal Bild 2 anschauen; dort ist der Graph von  c = b2/4 - 1  als unterer Rand der grünen Fläche eingezeichnet. Dieser Graph reicht offenbar nicht bis  b = 1  oder  b = -1 ,  denn nach (5) gilt die Einschränkung  c  -|b| (grüne Fläche in Bild 1). Wir suchen deshalb die Schnittpunkte von  c = b2/4 - 1  und  c = -|b| .  Für den rechten Schnittpunkt, also für  b > 0 ,  erhält man  b2/4 - 1 = -b  ⇔  b = √8 - 2 .  Aus Gründen der Symmetrie muss also gelten:

(7)   |b| ≤ 2(√2 - 1)  0,8284

Erlaubte c, b
Bild 2

Wir fassen (5), (6) und (7) zusammen:

|b| ≤ 2(√2 - 1)     c  [b2/4 - 1, -|b|]

Diese Paare (b,c) werden durch die grüne Fläche in Bild 2 dargestellt.


Beispiel:  Für  b = 1/2  kommen alle  c  [-15/16, -1/2]  in Frage, also z.B. die Parabel  f(x) = x2 + x/2 - 3/4 , die man in Bild 3 sieht.

letztes Bild

Bild 3


Ein ähnliches Problem erschien in Mathematical Excalibur 1/2, Problem 6.



Publiziert 2019-03-25          Stand 2018-03-01


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