Für welche  n ∈ N  ist  √(n-1) + √(n+1) rational ?

Lösung

√(n-1) + √(n+1) rational   ⇒  (√(n-1) + √(n+1))²  rational   ⇒  2n + 2√(n²-1)  rational   ⇒  √(n²-1)  rational   ⇒  √(n²-1) = a/b  mit  a,b ∈ N

Wir quadrieren beide Seiten:   n² - 1 = a²/b²   ⇒   b²(n²-1) = a²

Dann ist  n² - 1  eine Quadratzahl (denn die Zahlen auf beiden Seiten der letzten Gleichung enthalten die gleichen Primfaktoren, und diese jeweils in der gleichen geraden Potenz; also enthält  a²  alle Primfaktoren von  b²  -  diese sind in  b² alle gerade potenziert; die restlichen Primfaktoren in  a²  -  folglich ebenfalls alle in gerader Potenz  -  sind dann diejenigen von  n² - 1 ) .

Aber auch  n²  ist Quadratzahl. Die dazu nächst niedrigere Quadratzahl ist  (n-1)² ≤ n² - 1  mit  " = "  nur für  n = 1 .  Für  n > 1  kann also  n² - 1  keine Quadratzahl sein, also ist für  n > 1  die ursprüngliche Annahme √(n-1) + √(n+1) ∈ Q  falsch. Für  n = 1  ist ebenfalls  √(n-1) + √(n+1) = √2 ∉ Q ,  was den Beweis abschließt.

Für alle  n ∈ N  ist  √(n-1) + √(n+1) irrational.


Wie bei Problem 101 ist die Quelle für dieses Problem Mathematical Excalibur; siehe dort 3/2, Problem 51.

Publiziert 2018-07-13          Stand 2016-11-01

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