Gleichteilung des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks

          Die Lösung steht im unteren Teil der Seite.

Das folgende Dreieck ist ein diagonal halbiertes Quadrat der Seitenlänge  1 :



Es soll durch einen geraden Schnitt in zwei flächengleiche Teile zerlegt werden. Beide Teile haben dann den Flächeninhalt  1/4 :



Wir suchen nun den kürzesten Schnitt. Dafür gibt es naheliegende Lösungsversuche, wie z.B. die symmetrische Teilung (Bild 3) oder seitenparallele Teilungen (Bilder 4 und 5) :



Die Teilung aus Bild 5 scheidet also aus. Wir haben zwei Teilungen mit einer Schnittlänge von  √(1/2) ≈ 0.7071  gefunden (Bilder 3 und 4).


Gibt es eine kürzere Teilung ?

Lösung

Die Schnittlinie hat entweder einen Fußpunkt auf der Hypothenuse (Bild 6) oder nicht (Bild 7).




Im ersten Fall (Bild 6) ist der Flächeninhalt des rechts abgeschnittenen Dreiecks :

A = (ab cos 45°)/2 = ab √2 / 4

Da  A = 1/4  gelten soll, gilt

b = 1 /(a √2)

Für die Schnittlänge  x  gilt nach dem Cosinussatz :

x² = a² + b² - 2ab cos 45° = a² + 1 /(2a²) - 1

x  soll durch geeignete Wahl von  a  minimiert werden. Zur Vereinfachung minimieren wir  m = x² + 1  und setzen  c = a² .

m = c + 1/(2c)

m' = 1 - 1/(2c²) = 0  für  c² = 1/2

m'' = 1/c³ > 0 

Wir erhalten also ein relatives Minimum für  x  mit

a = ⁴√(1/2)  und  b = a

Dann ist

x = √(√2 - 1) ≈ 0.6436

Wir haben also einen kürzeren Schnitt als in den Bildern 3 und 4 gefunden.


Nun zum zweiten Fall (Bild 7). Für den Flächeninhalt des links abgeschnittenen Dreicks soll  ab/2 = 1/4  gelten, also

b = 1/(2a)  und  x² = a² + b² = a² + 1/(4a²)

Ähnlich wie im ersten Fall minimieren wir  m = x²  und setzen  c = a² .

m = c + 1/(4c)

m' = 1 - 1/(4c²) = 0  für  c = 1/2

m'' = 1/(2c³) > 0

Wir erhalten also ein relatives Minimum für  x  mit

a = √(1/2)  und  b = a 

Dann ist  x = 1 ; es liegt also der Fall aus Bild 5 vor. Wir haben keinen kürzeren Schnitt als im ersten Fall gefunden.


Wir fassen zusammen :

Die kürzeste Schnittlinie zur Gleichteilung des rechtwinkligen Dreiecks mit Kathetenlänge  1  hat die Länge  √(√2 - 1) ≈ 0.6436 . Die Teilung trennt - ausgehend von einem der spitzen Winkel - ein gleichschenkliges Dreieck ab, dessen andere Seiten die Länge  4√(1/2) ≈ 0.8409  haben.

Publiziert 2012-06-09          Stand 2011-05-23

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